ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) По условию $AD=4BC$, а $M$ — середина $AD$, поэтому

$$AM=\frac{1}{2}AD=2BC,\frac{BC}{AM}=\frac{1}{2}.$$

Рассмотрим треугольники $A_{1}BC$ и $A_{1}MA$. Прямые $BC$ и $AM$ параллельны (основания трапеции), поэтому:

• $\angle A_{1}BC=\angle A_{1}MA$ как накрест лежащие при секущей $BM$;
• $\angle A_{1}CB=\angle A_{1}AM$ как накрест лежащие при секущей $AC$.

По двум углам треугольники подобны с коэффициентом $\frac{BC}{AM}=\frac{1}{2}$, откуда

$$\frac{B{A}_1}{A_{1}M}=\frac{C{A}_1}{A_{1}A}=\frac{1}{2}.$$

Пусть прямая $BP$ пересекает $AM$ в точке $N$. В треугольнике $ABM$ отрезки $A{A}_1$, $ME$ и $BN$ проходят через одну точку $P$ (точка $A_1$ лежит на $BM$, $E$ — на $AB$, $N$ — на $AM$). По теореме Чевы

$$\frac{AE}{EB}\cdot \frac{B{A}_1}{A_{1}M}\cdot \frac{MN}{NA}=1.$$

Подставим $\frac{AE}{EB}=2$ и $\frac{B{A}_1}{A_{1}M}=\frac{1}{2}$:

$$2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{MN}{NA}=1\Rightarrow MN=NA.$$

Значит, $N$ — середина $AM$, и $BN$ — медиана треугольника $ABM$. Она лежит на прямой $BP$. Что и требовалось доказать.

То же можно доказать и без теоремы Чевы. Так как $\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$ и $\frac{B{A}_1}{BM}=\frac{1}{3}$, треугольники $BE{A}_1$ и $BAM$ подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle BE{A}_1=\angle BAM$ и $E{A}_1\parallel AM$. Пусть прямая $BP$ пересекает $E{A}_1$ в точке $L$. Из подобия треугольников $BEL\sim BAN$ и $BL{A}_1\sim BNM$ (стороны $E{A}_1$ и $AM$ параллельны) получаем $\frac{EL}{AN}=\frac{BL}{BN}=\frac{L{A}_1}{NM}$, то есть $\frac{EL}{L{A}_1}=\frac{AN}{NM}$. Из подобия треугольников $PEL\sim PMN$ и $PL{A}_1\sim PNA$ (вертикальные углы при $P$ и накрест лежащие углы) получаем $\frac{EL}{MN}=\frac{PL}{PN}=\frac{L{A}_1}{NA}$, то есть $\frac{EL}{L{A}_1}=\frac{MN}{NA}$. Значит, $\frac{AN}{NM}=\frac{NM}{AN}$, откуда $AN=NM$.

б) Пусть $h$ — высота трапеции. Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$, высоты которых к сторонам $BC$ и $AD$ равны $h$:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}h\cdot BC}{\frac{1}{2}h\cdot AD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{4}.$$

Значит, $S_{ACD}=4S_{ABC}$ и $S_{ABCD}=5S_{ABC}=20$, откуда $S_{ABC}=4$.

Точка $M$ лежит на основании $AD$, поэтому расстояние от неё до прямой $BC$ тоже равно $h$. У треугольников $ABC$ и $MBC$ общее основание $BC$ и равные высоты, поэтому

$$S_{MBC}=\frac{1}{2}h\cdot BC=S_{ABC}=4.$$

Точка $A_1$ лежит на отрезке $BM$ и делит треугольник $MBC$ на треугольники $BC{A}_1$ и $A_{1}CM$. У них общая высота, проведённая из вершины $C$ к прямой $BM$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{BC{A}_1}}{S_{A_{1}CM}}=\frac{B{A}_1}{A_{1}M}=\frac{1}{2}.$$

Тогда $S_{BC{A}_1}=\frac{1}{2}{S}_{A_{1}CM}$ и

$$S_{MBC}=S_{BC{A}_1}+S_{A_{1}CM}=\frac{3}{2}{S}_{A_{1}CM}=4\Rightarrow S_{A_{1}CM}=\frac{8}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{8}{3}$.