Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С ₁ и В ₁ соответственно. а) Докажите, что… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная развёрнутое

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С $_{1}$ и В $_{1}$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ $_{1}$ С $_{1}$ .

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $135^{\circ}$ , B $_{1}$ C $_{1}$ =10 и площадь треугольника АВ $_{1}$ С $_{1}$ в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСB $_{1}$ C $_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Точки $B$ , $C$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ лежат на одной окружности, причём $C_{1}$ лежит на стороне $A B$ , а $B_{1}$ — на стороне $A C$ .

Окружность через B, C, B₁, C₁

Четырёхугольник $B C B_{1} C_{1}$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ :

$∠ C_{1} B C + ∠ C B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} .$

Точка $B_{1}$ лежит на отрезке $A C$ , поэтому углы $A B_{1} C_{1}$ и $C B_{1} C_{1}$ смежные: $∠ A B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ C B_{1} C_{1}$ . Отсюда

$∠ A B_{1} C_{1} = ∠ C_{1} B C = ∠ A B C$

(угол $C_{1} B C$ совпадает с углом $A B C$ , так как $C_{1}$ лежит на $A B$ ).

У треугольников $A B C$ и $A B_{1} C_{1}$ угол $A$ общий и $∠ A B C = ∠ A B_{1} C_{1}$ . По двум углам они подобны, причём вершине $B$ соответствует $B_{1}$ , а вершине $C$ — $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $∠ A = 13 5^{\circ}$ , $B_{1} C_{1} = 10$ , $S_{B C B_{1} C_{1}} = 7 S_{A B_{1} C_{1}}$ .

Треугольник $A B C$ состоит из треугольника $A B_{1} C_{1}$ и четырёхугольника $B C B_{1} C_{1}$ , поэтому

$S_{A B C} = S_{A B_{1} C_{1}} + 7 S_{A B_{1} C_{1}} = 8 S_{A B_{1} C_{1}} .$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, а стороне $B C$ в подобии из пункта а) соответствует сторона $B_{1} C_{1}$ :

$(\frac{B C}{B _{1} C _{1}})^{2} = 8 \Rightarrow \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = 22 \Rightarrow B C = 10 \cdot 22 = 202 .$

Найдём радиус $R$ данной окружности. Обозначим $φ = ∠ A B B_{1}$ . Так как $C_{1}$ лежит на $A B$ , это тот же угол, что $∠ C_{1} B B_{1}$ , — вписанный угол, опирающийся на хорду $B_{1} C_{1}$ . По теореме синусов для треугольника $C_{1} B B_{1}$ , вписанного в нашу окружность:

$B_{1} C_{1} = 2 R sin φ .$

Угол $B B_{1} C$ — внешний угол треугольника $A B B_{1}$ при вершине $B_{1}$ , он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

$∠ B B_{1} C = ∠ B A B_{1} + ∠ A B B_{1} = 13 5^{\circ} + φ .$

Это вписанный угол, опирающийся на хорду $B C$ , поэтому по теореме синусов для треугольника $B B_{1} C$ :

$B C = 2 R sin (13 5^{\circ} + φ) .$

Заметим, что $13 5^{\circ} + φ$ — угол треугольника $B B_{1} C$ , поэтому $φ < 4 5^{\circ}$ .

Разделим второе равенство на первое:

$\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} + φ )}{sin φ} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = 22 .$

По формуле синуса суммы

$sin (13 5^{\circ} + φ) = sin 13 5^{\circ} cos φ + cos 13 5^{\circ} sin φ = \frac{2}{2} (cos φ - sin φ) .$

Делим на $sin φ \neq = 0$ :

$\frac{2}{2} (ctg φ - 1) = 22 \Rightarrow ctg φ - 1 = 4 \Rightarrow ctg φ = 5.$

Условие $φ < 4 5^{\circ}$ выполнено, так как $ctg φ = 5 > 1$ . По тождеству $1 + ctg^{2} φ = \frac{1}{sin ^{2} φ}$ :

$\frac{1}{sin ^{2} φ} = 1 + 25 = 26 \Rightarrow sin φ = \frac{1}{26}$

(синус угла треугольника положителен). Из равенства $B_{1} C_{1} = 2 R sin φ$ находим

$R = \frac{B _{1} C _{1}}{2 sin φ} = \frac{10}{2} \cdot 26 = 526 .$

Ответ: б) $B C = 202$ , $R = 526$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18