ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому центр $O$ описанной окружности лежит внутри него, а основание высоты $H$ лежит на стороне $AC$.

Угол $BOC$ — центральный, а угол $BAC$ — вписанный, оба опираются на одну дугу $BC$ (точки $A$ и $O$ лежат по одну сторону от $BC$). Центральный угол вдвое больше вписанного:

$$\angle BOC=2\angle BAC.$$

В треугольнике $BOC$ стороны $OB=OC$ — радиусы, поэтому он равнобедренный и $\angle OBC=\angle OCB$. По сумме углов треугольника

$$\angle OBC=\frac{1}{2}\left(180^{\circ }-\angle BOC\right)=90^{\circ }-\angle BAC.$$

Треугольник $ABH$ прямоугольный ($\angle AHB=90^{\circ }$), а $\angle BAH=\angle BAC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$:

$$\angle ABH=90^{\circ }-\angle BAC.$$

Правые части совпадают, значит, $\angle ABH=\angle CBO$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=8$, $BC=9$, $BH=BO$. Обозначим через $M$ середину $BC$. В равнобедренном треугольнике $BOC$ медиана $OM$ является высотой, поэтому $OM\perp BC$ и $BM=\frac{9}{2}$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OBM$ ($\angle OMB=90^{\circ }$) и $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). По пункту а) $\angle OBM=\angle ABH$, поэтому треугольники подобны по острому углу. В них катеты $BM$ и $BH$ прилежат к равным углам, а $BO$ и $AB$ — гипотенузы:

$$\frac{BM}{BO}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH\cdot BO=AB\cdot BM=8\cdot \frac{9}{2}=36.$$

По условию $BO=BH$, поэтому

$$B{H}^2=36\Rightarrow BH=6.$$

Проверим, что такой треугольник существует. Радиус $R=BO=6$, по теореме синусов $\sin \angle A=\frac{BC}{2R}=\frac{3}{4}$ и $\sin \angle C=\frac{AB}{2R}=\frac{2}{3}$; тогда $BH=AB\sin \angle A=8\cdot \frac{3}{4}=6$ — совпадает. Для острых углов $A$ и $C$ получаем $\cos \angle B=\sin A\sin C-\cos A\cos C=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{35}}{12}>0$, так как $\sqrt{35}<6$, — угол $B$ тоже острый.

Ответ: б) $6$.