ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Противоположные углы параллелограмма равны: $\angle ABC=\angle ADC$. Точка $E$ лежит на $BC$, а $K$ — на $CD$, поэтому $\angle ABE=\angle ABC$ и $\angle ADK=\angle ADC$. Значит,

$$\angle ABE=\angle ADK.$$

Углы $ABE$ и $ADK$ вписаны в данную окружность и опираются на хорды $AE$ и $AK$ соответственно. По теореме синусов хорда равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, который на неё опирается:

$$AE=2R\sin \angle ABE=2R\sin \angle ADK=AK.$$

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $AD=x$, $CK=y$. Так как $K$ лежит на $CD$ и $DK=20$, то $AB=CD=y+20$. Так как $E$ лежит на $BC=AD=x$ и $EC=48$, то $BE=x-48$.

Проведём отрезок $ED$. Прямая $BE$ — это прямая $BC$, параллельная $AD$, поэтому $ABED$ — трапеция с основаниями $BE$ и $AD$. Она вписана в окружность, а вписанная трапеция равнобедренная (параллельные хорды $BE$ и $AD$ отсекают равные дуги $AB$ и $ED$, а равные дуги стягиваются равными хордами). Поэтому

$$ED=AB=y+20.$$

Угол $ECD$ совпадает с углом $BCD$ параллелограмма, а он равен противоположному углу $BAD$. Значит, $\cos \angle ECD=0,4$.

Запишем теорему косинусов для треугольника $ECD$, в котором $EC=48$, $CD=ED=y+20$:

$$(y+20{)}^2=48^2+(y+20{)}^2-2\cdot 48\cdot (y+20)\cdot 0,4.$$

Квадраты $(y+20{)}^2$ сокращаются:

$$38,4(y+20)=2304\Rightarrow y+20=60\Rightarrow y=40.$$

Итак, $AB=CD=60$.

Углы $ABC$ и $BAD$ параллелограмма в сумме дают $180^{\circ }$, поэтому $\cos \angle ABC=-\cos \angle BAD=-0,4$. Угол $ADC$ равен углу $ABC$, так что и $\cos \angle ADK=-0,4$.

По пункту а) $AE=AK$. Выразим $A{E}^2$ по теореме косинусов из треугольника $ABE$:

$$A{E}^2=A{B}^2+B{E}^2-2\cdot AB\cdot BE\cdot \cos \angle ABE=60^2+(x-48{)}^2+2\cdot 60\cdot (x-48)\cdot 0,4=3600+(x-48{)}^2+48(x-48).$$

А $A{K}^2$ — из треугольника $ADK$:

$$A{K}^2=A{D}^2+D{K}^2-2\cdot AD\cdot DK\cdot \cos \angle ADK=x^2+20^2+2\cdot x\cdot 20\cdot 0,4=x^2+400+16x.$$

Приравняем и раскроем скобки:

$$3600+x^2-96x+2304+48x-2304=x^2+16x+400,$$

$$3600-48x=16x+400\Rightarrow 64x=3200\Rightarrow x=50.$$

Тогда $BE=50-48=2>0$, то есть точка $E$ действительно лежит на стороне $BC$.

Проверка по теореме о секущих из точки $C$: $CE\cdot CB=48\cdot 50=2400$ и $CK\cdot CD=40\cdot 60=2400$ — равенство выполняется.

Ответ: б) $50$.