ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, причём $C_1$ лежит на стороне $AB$, а $B_1$ — на стороне $AC$.

Четырёхугольник $BC{B}_1{C}_1$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }$:

$$\angle C_{1}BC+\angle C{B}_1{C}_1=180^{\circ }.$$

Точка $B_1$ лежит на отрезке $AC$, поэтому углы $A{B}_1{C}_1$ и $C{B}_1{C}_1$ смежные: $\angle A{B}_1{C}_1=180^{\circ }-\angle C{B}_1{C}_1$. Отсюда

$$\angle A{B}_1{C}_1=\angle C_{1}BC=\angle ABC$$

(угол $C_{1}BC$ совпадает с углом $ABC$, так как $C_1$ лежит на $AB$).

У треугольников $ABC$ и $A{B}_1{C}_1$ угол $A$ общий и $\angle ABC=\angle A{B}_1{C}_1$. По двум углам они подобны, причём вершине $B$ соответствует $B_1$, а вершине $C$ — $C_1$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $\angle A=45^{\circ }$, $B_1{C}_1=6$, $S_{BC{B}_1{C}_1}=8S_{A{B}_1{C}_1}$.

Треугольник $ABC$ состоит из треугольника $A{B}_1{C}_1$ и четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1$, поэтому

$$S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+S_{BC{B}_1{C}_1}=S_{A{B}_1{C}_1}+8S_{A{B}_1{C}_1}=9S_{A{B}_1{C}_1}.$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. В подобии из пункта а) стороне $BC$ соответствует сторона $B_1{C}_1$, поэтому

$${\left(\frac{BC}{B_1{C}_1}\right)}^2=9\Rightarrow \frac{BC}{B_1{C}_1}=3\Rightarrow BC=3\cdot 6=18.$$

Теперь найдём радиус $R$ данной окружности. Обозначим $\phi =\angle AB{B}_1$. Так как $C_1$ лежит на $AB$, это тот же угол, что $\angle C_{1}B{B}_1$, — вписанный угол, опирающийся на хорду $B_1{C}_1$. По теореме синусов для треугольника $C_{1}B{B}_1$, вписанного в нашу окружность:

$$B_1{C}_1=2R\sin \phi .$$

Угол $B{B}_{1}C$ — внешний угол треугольника $AB{B}_1$ при вершине $B_1$, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

$$\angle B{B}_{1}C=\angle BA{B}_1+\angle AB{B}_1=45^{\circ }+\phi .$$

Это вписанный угол, опирающийся на хорду $BC$. По теореме синусов для треугольника $B{B}_{1}C$:

$$BC=2R\sin \left(45^{\circ }+\phi \right).$$

Разделим второе равенство на первое:

$$\frac{\sin \left(45^{\circ }+\phi \right)}{\sin \phi }=\frac{BC}{B_1{C}_1}=3.$$

По формуле синуса суммы $\sin \left(45^{\circ }+\phi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin \phi +\cos \phi \right)$. Делим на $\sin \phi \ne 0$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\mathrm{ctg}\phi \right)=3\Rightarrow 1+\mathrm{ctg}\phi =\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{ctg}\phi =3\sqrt{2}-1.$$

Воспользуемся тождеством $1+{\mathrm{ctg}}^2\phi =\frac{1}{{\sin }^2\phi }$:

$$\frac{1}{{\sin }^2\phi }=1+{\left(3\sqrt{2}-1\right)}^2=1+18-6\sqrt{2}+1=20-6\sqrt{2}.$$

Угол $\phi$ — угол треугольника, поэтому $\sin \phi >0$ и $\frac{1}{\sin \phi }=\sqrt{20-6\sqrt{2}}$. Из равенства $B_1{C}_1=2R\sin \phi$ находим

$$R=\frac{B_1{C}_1}{2\sin \phi }=\frac{3}{\sin \phi }=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}.$$

Заметим, что ответ не зависит от формы треугольника: угол $\phi$ однозначно задаётся равенством $\mathrm{ctg}\phi =3\sqrt{2}-1$. Проверка численно: $R\approx 3\cdot 3,393\approx 10,18$, $\phi \approx 17,1^{\circ }$, и $2R\sin \left(45^{\circ }+\phi \right)\approx 20,36\cdot 0,884\approx 18$.

Ответ: б) $BC=18$, $R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}$.