ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle DAB=\alpha$, по условию этот угол острый. Точки $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из $B$ на стороны $AD$ и $CD$.

Треугольник $ABP$ прямоугольный ($\angle APB=90^{\circ }$), а сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$. Поэтому

$$\angle ABP=90^{\circ }-\alpha .$$

Противоположные углы параллелограмма равны: $\angle BCD=\angle DAB=\alpha$. Треугольник $BQC$ тоже прямоугольный ($\angle BQC=90^{\circ }$), значит,

$$\angle QBC=90^{\circ }-\alpha .$$

Углы $DAB$ и $ABC$ — односторонние при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, их сумма равна $180^{\circ }$, поэтому $\angle ABC=180^{\circ }-\alpha$.

Лучи $BP$ и $BQ$ лежат внутри угла $ABC$, так как $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AD$ и $CD$. Угол $ABC$ складывается из углов $ABP$, $PBQ$ и $QBC$, откуда

$$\angle PBQ=\angle ABC-\angle ABP-\angle QBC=180^{\circ }-\alpha -2\left(90^{\circ }-\alpha \right)=\alpha .$$

Сравним треугольники $BAM$ и $QBP$. В них:

• $AB=BQ$ по условию;
• $AM=BP$ по условию;
• $\angle BAM=\angle QBP=\alpha$ (угол $BAM$ совпадает с углом $DAB$, так как $M$ лежит на стороне $AD$).

По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) $△BAM=△QBP$, причём вершине $A$ соответствует $B$, вершине $B$ — $Q$, вершине $M$ — $P$. Значит, равны и третьи стороны: $BM=QP$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AM=BP=21$, $AB=BQ=29$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABP$:

$$AP=\sqrt{A{B}^2-B{P}^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{400}=20.$$

Точки $P$ и $M$ лежат на луче $AD$, причём $AP=20<AM=21$. Значит, $P$ лежит между $A$ и $M$, и

$$PM=AM-AP=21-20=1.$$

Площадь треугольника $APQ$ равна половине произведения стороны $AP$ на высоту, опущенную из $Q$ на прямую $AD$. Найдём эту высоту.

Опустим перпендикуляр $QH$ на прямую $BP$. Угол $QBP=\alpha$ острый, поэтому $H$ лежит на луче $BP$ и $\angle QBH=\alpha$. Сравним прямоугольные треугольники $BAP$ и $QBH$: гипотенузы $AB=QB=29$ и острые углы $\angle BAP=\angle QBH=\alpha$. По гипотенузе и острому углу они равны, поэтому

$$BH=AP=20,QH=BP=21.$$

Так как $BH=20<BP=21$, точка $H$ лежит на отрезке $BP$ и $HP=BP-BH=1$ (то же самое, что $PM$: в равных треугольниках $BAM$ и $QBP$ основания высот делят стороны одинаково).

Прямые $QH$ и $AD$ обе перпендикулярны прямой $BP$, значит, $QH\parallel AD$. Все точки прямой $QH$ удалены от прямой $AD$ на одно и то же расстояние, поэтому расстояние от $Q$ до $AD$ равно расстоянию от $H$ до $AD$. А оно равно $HP=1$, ведь $H$ лежит на прямой $BP$, перпендикулярной $AD$ в точке $P$.

Итак, высота треугольника $APQ$, проведённая к стороне $AP$, равна $1$, и

$$S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot HP=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 1=10.$$

Проверим координатами: $A(0;0)$, $P(20;0)$, $B(20;21)$. Из равенства $AD\cdot BP=CD\cdot BQ$ (обе части — площадь параллелограмма) $AD=\frac{29\cdot 29}{21}$, и основание перпендикуляра из $B$ на $CD$ получается $Q(41;1)$. Высота треугольника $APQ$ равна ординате точки $Q$, то есть $1$, — всё сходится.

Ответ: б) $10$.