ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Точка $H$ лежит на отрезке $BM$, то есть на стороне $BC$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle HAC=90^{\circ }-\angle ACH=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

$AM$ — биссектриса угла $HAC$, поэтому

$$\angle HAM=\angle MAC=30^{\circ }.$$

Пусть $MQ=x$. Прямоугольные треугольники $HAM$ и $QAM$ равны по гипотенузе и острому углу: гипотенуза $AM$ общая, $\angle HAM=\angle QAM=30^{\circ }$. Значит, $HM=QM=x$.

В прямоугольном треугольнике $MQC$ катет $MQ$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому гипотенуза вдвое больше: $MC=2x$.

$AM$ — медиана, поэтому $BM=MC=2x$. Точка $H$ лежит на отрезке $BM$, значит,

$$BH=BM-HM=2x-x=x=HM.$$

В треугольнике $ABM$ отрезок $AH$ — высота и медиана одновременно. Значит, треугольник $ABM$ равнобедренный, и $AH$ — ещё и биссектриса: $\angle BAH=\angle HAM=30^{\circ }$. Тогда

$$\angle BAC=\angle BAH+\angle HAM+\angle MAC=30^{\circ }+30^{\circ }+30^{\circ }=90^{\circ }.$$

Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла $C=30^{\circ }$, поэтому равен половине гипотенузы:

$$BC=2AB=24.$$

С другой стороны, $BC=2MC=4x$, откуда $x=6$. Значит, $HM=MQ=6$ и $MC=12$.

Найдём положение точки $F$. В прямоугольном треугольнике $MQC$ угол $QMC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$, поэтому $\angle HMQ=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Прямые $AH$ и $MQ$ пересечены прямой $BC$. С той стороны от $BC$, где лежат точки $A$ и $Q$, сумма углов при $H$ и $M$ равна $90^{\circ }+120^{\circ }>180^{\circ }$, а с другой стороны $90^{\circ }+60^{\circ }<180^{\circ }$. Поэтому прямые пересекаются по другую сторону от $BC$: точка $F$ лежит на продолжениях $AH$ за точку $H$ и $QM$ за точку $M$.

Углы $HMF$ и $QMC$ вертикальные, поэтому $\angle HMF=60^{\circ }$. Прямоугольные треугольники $FHM$ и $CQM$ равны по катету и прилежащему острому углу: $HM=QM=6$, $\angle HMF=\angle QMC$. Значит, $FM=CM=12$. По теореме Пифагора в треугольнике $FHM$:

$$FH=\sqrt{F{M}^2-H{M}^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}.$$

Отрезок $FH$ перпендикулярен прямой $BC$, на которой лежит сторона $MC$, поэтому $FH$ — высота треугольника $CFM$, проведённая к $MC$:

$$S_{CFM}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot FH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $36\sqrt{3}$.