ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Точка $O$ — середина диаметра $TM$, она лежит на катете $RT$. Катет $ST$ перпендикулярен $RT$, то есть перпендикулярен радиусу $OT$ в его конце $T$. Значит, $ST$ — касательная к окружности в точке $T$. Гипотенуза $RS$ касается окружности в точке $N$, поэтому $ON\perp RS$.

Рассмотрим четырёхугольник $NOTS$. В нём

$$\angle ONS+\angle OTS=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

поэтому он вписанный. Вписанные углы $NTO$ и $NSO$ опираются на одну дугу $NO$, значит, $\angle NTO=\angle NSO$.

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Для касательной $RN$ и хорды $NM$:

$$\angle RNM=\angle NTM.$$

Точка $O$ лежит на отрезке $TM$, а точка $N$ — на отрезке $RS$, поэтому $\angle NTM=\angle NTO$ и $\angle NSO=\angle RSO$. Получаем

$$\angle RNM=\angle NTO=\angle NSO=\angle RSO.$$

Углы $RNM$ и $RSO$ — соответственные при прямых $MN$ и $SO$ и секущей $RS$. Они равны, значит, $MN\parallel SO$. Что и требовалось доказать.

Можно рассуждать и иначе. Отрезки касательных $SN$ и $ST$ равны, и $ON=OT$, поэтому точки $S$ и $O$ лежат на серединном перпендикуляре к $TN$, то есть $SO\perp TN$. Вписанный угол $TNM$ опирается на диаметр, поэтому $MN\perp TN$. Две прямые, перпендикулярные $TN$, параллельны.

б) Пусть $RM=x$, тогда $MT=3x$, радиус $MO=OT=1,5x$, $RO=2,5x$, $RT=4x$.

По теореме о касательной и секущей, проведённых из точки $R$:

$$R{N}^2=RM\cdot RT=x\cdot 4x=4x^2\Rightarrow RN=2x.$$

Треугольники $RMN$ и $ROS$ подобны по двум углам: угол $R$ общий, $\angle RNM=\angle RSO$ по пункту а). Коэффициент подобия $k=\frac{RM}{RO}=\frac{x}{2,5x}=\frac{2}{5}$, поэтому

$$\frac{RN}{RS}=\frac{2}{5}\Rightarrow RS=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x.$$

Тогда $NS=RS-RN=3x$, и $ST=SN=3x$ как отрезки касательных из точки $S$. Проверка: $R{T}^2+S{T}^2=16x^2+9x^2=25x^2=R{S}^2$.

Найдём $x$ из треугольника $STN$, в котором известна сторона $TN=8$. Из прямоугольного треугольника $RTS$:

$$\cos \angle S=\frac{ST}{RS}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}.$$

По теореме косинусов для треугольника $STN$:

$$T{N}^2=S{T}^2+S{N}^2-2\cdot ST\cdot SN\cdot \cos \angle S,$$

$$64=9x^2+9x^2-2\cdot 3x\cdot 3x\cdot \frac{3}{5}=18x^2-\frac{54x^2}{5}=\frac{36x^2}{5}\Rightarrow x^2=\frac{80}{9}.$$

Найдём площади. Площадь прямоугольного треугольника $RTS$:

$$S_{RTS}=\frac{1}{2}\cdot RT\cdot ST=\frac{1}{2}\cdot 4x\cdot 3x=6x^2.$$

Треугольники $ROS$ и $RTS$ имеют общую высоту $ST$, проведённую к прямой $RT$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{ROS}}{S_{RTS}}=\frac{RO}{RT}=\frac{2,5x}{4x}=\frac{5}{8}\Rightarrow S_{ROS}=\frac{5}{8}\cdot 6x^2=\frac{15x^2}{4}.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{RMN}}{S_{ROS}}=k^2=\frac{4}{25}.$$

Четырёхугольник $SOMN$ получается из треугольника $ROS$ отбрасыванием треугольника $RMN$:

$$S_{SOMN}=S_{ROS}-S_{RMN}=\frac{21}{25}\cdot S_{ROS}=\frac{21}{25}\cdot \frac{15}{4}\cdot \frac{80}{9}=28.$$

Проверим другим способом: $SOMN$ — трапеция с основаниями $SO$ и $MN$. По теореме Пифагора $SO=\sqrt{S{T}^2+O{T}^2}=\sqrt{9x^2+2,25x^2}=\sqrt{11,25\cdot \frac{80}{9}}=10$ и $MN=\sqrt{M{T}^2-T{N}^2}=\sqrt{80-64}=4$. Прямая $SO$ — серединный перпендикуляр к $TN$, а $MN\perp TN$ проходит через $N$, поэтому высота трапеции равна $\frac{TN}{2}=4$, и $S=\frac{10+4}{2}\cdot 4=28$.

Ответ: б) $28$.