ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $BCM$ и $CDN$. В них $BC=CD$ как стороны квадрата и $BM=CN$ как половины сторон квадрата. Значит, треугольники равны по двум катетам, и $\angle BCM=\angle CDN$.

Углы $BCM$ и $KCD$ вместе составляют прямой угол $BCD$:

$$\angle BCM+\angle KCD=90^{\circ }\Rightarrow \angle CDK+\angle KCD=90^{\circ }.$$

Тогда в треугольнике $CDK$ третий угол $CKD=90^{\circ }$, то есть $CM\perp DN$, и $\angle NKM=90^{\circ }$ (углы $NKM$ и $CKD$ вертикальные).

Рассмотрим четырёхугольник $BNKM$. В нём

$$\angle MBN+\angle NKM=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

поэтому около него можно описать окружность. Хорды $BM$ и $BN$ этой окружности равны как половины сторон квадрата, значит, стягивают равные дуги. Вписанные углы $BKM$ и $BKN$ опираются на эти дуги, поэтому $\angle BKM=\angle BKN$.

Точка $B$ лежит на дуге $MN$, не содержащей $K$, поэтому луч $KB$ проходит внутри угла $MKN$ и

$$\angle BKM+\angle BKN=\angle MKN=90^{\circ }\Rightarrow \angle BKM=45^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим четырёхугольник $AMKD$. В нём $\angle MAD=90^{\circ }$ (угол квадрата) и $\angle MKD=90^{\circ }$ (так как $CM\perp DN$):

$$\angle MAD+\angle MKD=180^{\circ },$$

значит, он вписанный. Вписанные углы $AKM$ и $ADM$ опираются на одну дугу $AM$, поэтому $\angle AKM=\angle ADM$. Обозначим $\angle ADM=\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $ADM$ катеты $AM=\frac{AB}{2}=2\sqrt{5}$ и $AD=4\sqrt{5}$. По теореме Пифагора

$$D{M}^2=A{M}^2+A{D}^2=20+80=100\Rightarrow DM=10.$$

$$\sin \alpha =\frac{AM}{DM}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos \alpha =\frac{AD}{DM}=\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому луч $KM$ проходит внутри угла $AKB$, и по пункту а)

$$\angle AKB=\angle AKM+\angle MKB=\alpha +45^{\circ }.$$

По формуле синуса суммы:

$$\sin \angle AKB=\sin \alpha \cos 45^{\circ }+\cos \alpha \sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

По теореме синусов для треугольника $AKB$:

$$2R=\frac{AB}{\sin \angle AKB}=\frac{4\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{4\sqrt{50}}{3}=\frac{20\sqrt{2}}{3}\Rightarrow R=\frac{10\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{10\sqrt{2}}{3}$.