ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) По условию $BC$ и $BD$ — перпендикуляры к биссектрисе $AC$ и к стороне $AD$, поэтому $\angle BCA=\angle BDA=90^{\circ }$. Из точек $C$ и $D$ отрезок $AB$ виден под прямым углом, значит, обе точки лежат на окружности с диаметром $AB$.

$AC$ — биссектриса угла $BAD$, поэтому $\angle BAC=\angle CAD$. Это вписанные углы, опирающиеся на хорды $BC$ и $CD$. Равные вписанные углы опираются на равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами: $BC=CD$.

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $ABC$ и $ABD$ с общей гипотенузой $AB$:

$$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2,A{D}^2+B{D}^2=A{B}^2.$$

Так как $CD=BC$, получаем

$$A{C}^2+C{D}^2=A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2.$$

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $\angle BAC=\angle CAD=\alpha$. Угол $BAD=2\alpha$ острый, поэтому $\alpha <45^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\sin \alpha =\sin \left(90^{\circ }-\angle ABC\right)=\cos \angle ABC=\frac{3}{8}.$$

Найдём угол $CBD$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ угол $ABD=90^{\circ }-2\alpha$, а в треугольнике $ABC$ угол $ABC=90^{\circ }-\alpha$. Точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, и $\angle ABD<\angle ABC$, поэтому луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$ и пересекает отрезок $AC$ в точке $T$, причём

$$\angle CBT=\angle ABC-\angle ABD=\left(90^{\circ }-\alpha \right)-\left(90^{\circ }-2\alpha \right)=\alpha .$$

(Это же следует из того, что вписанные углы $CBD$ и $CAD$ опираются на одну дугу $CD$.)

В прямоугольном треугольнике $BCT$ с прямым углом $C$:

$$TC=BC\cdot \mathrm{tg}\alpha .$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$AB=\frac{BC}{\sin \alpha }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABD$ угол при вершине $A$ равен $2\alpha$:

$$AD=AB\cdot \cos 2\alpha =\frac{BC\cdot \cos 2\alpha }{\sin \alpha }.$$

Треугольник $ATD$ прямоугольный с прямым углом $D$ (точка $T$ лежит на $BD$), угол $TAD=\alpha$:

$$AT=\frac{AD}{\cos \alpha }=\frac{BC\cdot \cos 2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }.$$

Найдём отношение:

$$\frac{AT}{TC}=\frac{BC\cdot \cos 2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha \cdot BC\cdot \mathrm{tg}\alpha }=\frac{\cos 2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{\cos 2\alpha }{{\sin }^2\alpha }.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$. При $\sin \alpha =\frac{3}{8}$:

$$\frac{AT}{TC}=\frac{1-2{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1-2\cdot \frac{9}{64}}{\frac{9}{64}}=\frac{64-18}{9}=\frac{46}{9}.$$

Проверим другим способом. Из треугольника $ABC$ имеем $AC=BC\cdot \mathrm{ctg}\alpha$, поэтому $AT=AC-TC=BC\left(\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha \right)$ и

$$\frac{AT}{TC}=\frac{\mathrm{ctg}\alpha }{\mathrm{tg}\alpha }-1={\mathrm{ctg}}^2\alpha -1=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }-2=\frac{64}{9}-2=\frac{46}{9}.$$

Ответ: б) $46:9$.