Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2013 развёрнутое

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно касаются в точке $A .$ Прямая, проходящая через точку $A,$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $B,$ а большую — в точке $C .$ Найдите площадь треугольника $B C O_{2},$ если $∠ A B O_{1} = 1 5^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров, поэтому точки $O_{1}$ , $A$ , $O_{2}$ лежат на одной прямой. Треугольники $O_{1} A B$ и $O_{2} A C$ равнобедренные: $O_{1} A = O_{1} B = 3$ , $O_{2} A = O_{2} C = 5$ как радиусы.

В треугольнике $O_{1} A B$ углы при основании равны: $∠ O_{1} A B = ∠ O_{1} B A = 1 5^{\circ}$ , поэтому

$∠ A O_{1} B = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 1 5^{\circ} = 15 0^{\circ} .$

Опустим перпендикуляр $B H$ на прямую $O_{1} O_{2}$ . Угол $A O_{1} B$ тупой, поэтому $H$ лежит на продолжении $A O_{1}$ за точку $O_{1}$ , и угол $B O_{1} H$ смежный с углом $A O_{1} B$ : $∠ B O_{1} H = 3 0^{\circ}$ . В прямоугольном треугольнике $B H O_{1}$ катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы:

$B H = \frac{1}{2} B O_{1} = \frac{3}{2} .$

Окружности могут касаться внешним или внутренним образом, рассмотрим оба случая.

1) Внешнее касание. Точка $A$ лежит между $O_{1}$ и $O_{2}$ , а точки $B$ и $C$ — по разные стороны от $A$ на секущей. Углы $C A O_{2}$ и $B A O_{1}$ вертикальные, поэтому $∠ C A O_{2} = 1 5^{\circ}$ . Треугольник $O_{2} A C$ равнобедренный, значит, $∠ O_{2} C A = 1 5^{\circ}$ и $∠ A O_{2} C = 15 0^{\circ}$ . Опустим перпендикуляр $C K$ на прямую $O_{1} O_{2}$ . Как и выше, $∠ C O_{2} K = 3 0^{\circ}$ и

$C K = \frac{1}{2} C O_{2} = \frac{5}{2} .$

Точка $A$ лежит на отрезке $B C$ , поэтому отрезок $O_{2} A$ делит треугольник $B C O_{2}$ на треугольники $B A O_{2}$ и $C A O_{2}$ . Их высоты к общей стороне $A O_{2} = 5$ равны $B H$ и $C K$ :

$S_{B C O_{2}} = S_{B A O_{2}} + S_{C A O_{2}} = \frac{1}{2} \cdot A O_{2} \cdot B H + \frac{1}{2} \cdot A O_{2} \cdot C K = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{5}{2}) = 10.$

2) Внутреннее касание. Меньшая окружность лежит внутри большей, точка $O_{1}$ лежит на отрезке $A O_{2}$ . Точки $B$ и $C$ лежат на одном луче с началом $A$ . Угол $C A O_{2}$ совпадает с углом $B A O_{1}$ , поэтому $∠ C A O_{2} = 1 5^{\circ}$ , и, как в первом случае, $∠ A O_{2} C = 15 0^{\circ}$ , $C K = \frac{5}{2}$ , $B H = \frac{3}{2}$ .

Основание равнобедренного треугольника с боковой стороной $a$ и углом $1 5^{\circ}$ при основании равно $2 a cos 1 5^{\circ}$ . Поэтому $A B = 6 cos 1 5^{\circ} < A C = 10 cos 1 5^{\circ}$ , и точка $B$ лежит между $A$ и $C$ . Значит, треугольник $B C O_{2}$ получается из треугольника $A C O_{2}$ отбрасыванием треугольника $A B O_{2}$ :

$S_{B C O_{2}} = S_{A C O_{2}} - S_{A B O_{2}} = \frac{1}{2} \cdot A O_{2} \cdot (C K - B H) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (\frac{5}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{5}{2} .$

Проверим оба ответа другим способом. Расстояние от $O_{2}$ до прямой $B C$ равно $O_{2} A sin 1 5^{\circ} = 5 sin 1 5^{\circ}$ . В первом случае $B C = A B + A C = 16 cos 1 5^{\circ}$ , во втором $B C = A C - A B = 4 cos 1 5^{\circ}$ . Так как $sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{4}$ , получаем

$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 16 cos 1 5^{\circ} \cdot 5 sin 1 5^{\circ} = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10, S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 cos 1 5^{\circ} \cdot 5 sin 1 5^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{2} .$

Ответ: $10$ или $2, 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18