Касательная к окружности, вписанной в квадрат ABCD, пересекает его… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2023 развёрнутое

Касательная к окружности, вписанной в квадрат $A B C D,$ пересекает его стороны $A B$ и $A D$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника $A M N$ равен стороне квадрата.

б) Прямая $M N$ пересекает прямую $C D$ в точке $P .$ Через центр вписанной окружности квадрата и точку $P$ проведена прямая, которая пересекает сторону $B C$ в точке $T .$ Известно, что $A M : M B = 1 : 4.$ Найдите $B T : T C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Центр $O$ вписанной окружности квадрата совпадает с центром квадрата, а радиус равен половине стороны. Перпендикуляр из $O$ на сторону попадает в её середину, поэтому окружность касается сторон в их серединах. Пусть $E$ и $F$ — середины сторон $A B$ и $A D$ , то есть точки касания, а $L$ — точка касания окружности с прямой $M N$ .

Прямая $M N$ отсекает от квадрата угол $A$ . Окружность лежит вне треугольника $A M N$ и касается его стороны $M N$ и продолжений сторон $A M$ и $A N$ , поэтому $M$ лежит между $A$ и $E$ , $N$ — между $A$ и $F$ , а $L$ — между $M$ и $N$ .

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $M L = M E$ и $N L = N F$ . Тогда

$P_{A M N} = A M + M N + A N = A M + M L + L N + A N = (A M + M E) + (A N + N F) = A E + A F .$

Так как $A E = \frac{A B}{2}$ и $A F = \frac{A D}{2} = \frac{A B}{2}$ , получаем $P_{A M N} = A B$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $A M = x$ , тогда $M B = 4 x$ и сторона квадрата $A B = 5 x$ . Точки касания — середины сторон, поэтому $A E = A F = 2, 5 x$ и

$M L = M E = A E - A M = 2, 5 x - x = 1, 5 x .$

Пусть $N L = N F = y$ . Тогда

$A N = A F - N F = 2, 5 x - y, M N = M L + L N = 1, 5 x + y .$

Треугольник $A M N$ прямоугольный с прямым углом $A$ . По теореме Пифагора

$M N^{2} = A M^{2} + A N^{2},$

$(1, 5 x + y)^{2} = x^{2} + (2, 5 x - y)^{2},$

$2, 25 x^{2} + 3 x y + y^{2} = x^{2} + 6, 25 x^{2} - 5 x y + y^{2},$

$8 x y = 5 x^{2} \Rightarrow y = \frac{5 x}{8} .$

Тогда

$A N = 2, 5 x - \frac{5 x}{8} = \frac{15 x}{8}, N D = A D - A N = 5 x - \frac{15 x}{8} = \frac{25 x}{8} .$

Найдём положение точки $P$ . Точка $N$ лежит на отрезке $A D$ , то есть между параллельными прямыми $A B$ и $C D$ . Поэтому прямая $M N$ пересекает прямую $C D$ в точке $P$ , для которой $N$ лежит между $M$ и $P$ . Точки $M$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $A D$ , а $P$ — по другую, значит, $P$ лежит на продолжении $C D$ за точку $D$ . Треугольники $N A M$ и $N D P$ подобны по двум углам: $∠ A N M = ∠ D N P$ как вертикальные, $∠ N A M = ∠ N D P = 9 0^{\circ}$ . Запишем отношение сходственных сторон:

$\frac{P D}{A M} = \frac{N D}{A N} = \frac{\frac{25 x}{8}}{\frac{15 x}{8}} = \frac{5}{3} \Rightarrow P D = \frac{5}{3} A M = \frac{5 x}{3} .$

Тогда

$P C = P D + D C = \frac{5 x}{3} + 5 x = \frac{20 x}{3} .$

Пусть прямая $P T$ пересекает прямую $A D$ в точке $S$ . Рассмотрим треугольники $O B T$ и $O D S$ . Центр квадрата $O$ — середина диагонали $B D$ , поэтому $O B = O D$ . Углы $B O T$ и $D O S$ равны как вертикальные. Углы $O B T$ и $O D S$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $B C$ и $A D$ и секущей $B D$ . Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, и

$B T = D S .$

Точка $S$ лежит на стороне $A D$ (она симметрична точке $T$ стороны $B C$ относительно центра квадрата). Прямые $D S$ и $C T$ параллельны, поэтому треугольники $P D S$ и $P C T$ подобны: угол $P$ общий, $∠ P D S = ∠ P C T = 9 0^{\circ}$ . Отсюда

$\frac{D S}{C T} = \frac{P D}{P C} = \frac{\frac{5 x}{3}}{\frac{20 x}{3}} = \frac{1}{4} .$

Так как $B T = D S$ , получаем

$\frac{B T}{T C} = \frac{D S}{T C} = \frac{1}{4} .$

Ответ: б) $1 : 4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18