В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники сложная развёрнутое

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A H$ и $C T$ к боковым сторонам $B C$ и $A B$ . Отрезки $H M$ и $H K$ — перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $C T$ и $M K$ пересекаются в точке $E$ .

а) Докажите, что $T H = M E$ .

б) Найдите длину отрезка $E K$ , если $A B = 13$ и $A C = 10$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Высоты AH, CT и перпендикуляры HM, HK

Боковые стороны треугольника — $A B$ и $B C$ , основание — $A C$ . Обозначим углы при основании $∠ B A C = ∠ B C A = γ$ . Треугольник остроугольный, поэтому основания высот $H$ и $T$ лежат на сторонах $B C$ и $A B$ .

Уточним положение точки $M$ . При проектировании на прямую $A B$ точка $B$ переходит в себя, а точка $C$ — в $T$ . Значит, отрезок $B C$ проектируется в отрезок $B T$ , и проекция $M$ точки $H \in B C$ лежит на отрезке $B T$ . Поэтому точки на стороне $A B$ идут в порядке $A$ , $T$ , $M$ , $B$ .

а) Пусть $E^{'}$ — основание перпендикуляра, опущенного из $H$ на прямую $C T$ . У четырёхугольника $M T E^{'} H$ три угла прямые: $∠ H M T = 9 0^{\circ}$ ( $H M ⊥ A B$ ), $∠ M T E^{'} = 9 0^{\circ}$ ( $C T ⊥ A B$ ), $∠ T E^{'} H = 9 0^{\circ}$ . Значит, это прямоугольник, и его диагонали равны:

$T H = M E^{'} .$

Осталось доказать, что $E^{'}$ совпадает с $E$ , то есть лежит на прямой $M K$ . Для этого сравним углы, которые лучи $M E^{'}$ и $M K$ образуют с лучом $M A$ .

Угол $T M E^{'}$ . Прямоугольные треугольники $T M E^{'}$ и $M T H$ равны по двум катетам: $M T$ — общий, $T E^{'} = M H$ как противоположные стороны прямоугольника. Значит, $∠ T M E^{'} = ∠ M T H$ . Точка $M$ лежит на луче $T B$ , поэтому $∠ M T H = ∠ B T H$ .

Углы $A T C$ и $A H C$ прямые, поэтому точки $T$ и $H$ лежат на окружности с диаметром $A C$ , и четырёхугольник $A T H C$ вписанный. Сумма его противоположных углов $A T H$ и $A C H$ равна $18 0^{\circ}$ , а угол $B T H$ смежен с углом $A T H$ . Поэтому

$∠ B T H = 18 0^{\circ} - ∠ A T H = ∠ A C H = γ \Rightarrow ∠ T M E^{'} = γ .$

Угол $T M K$ . Углы $A M H$ и $A K H$ прямые, поэтому точки $M$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $A H$ . Вписанные углы $A M K$ и $A H K$ опираются на одну дугу $A K$ , значит, $∠ A M K = ∠ A H K$ . В прямоугольном треугольнике $A H C$ угол $H A C = 9 0^{\circ} - γ$ , а в прямоугольном треугольнике $A K H$

$∠ A H K = 9 0^{\circ} - ∠ H A K = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - γ) = γ .$

Точка $T$ лежит между $A$ и $M$ , поэтому луч $M T$ совпадает с лучом $M A$ , и $∠ T M K = ∠ A M K = γ$ .

Итак, лучи $M E^{'}$ и $M K$ образуют с лучом $M T$ один и тот же угол $γ$ и лежат по одну сторону от прямой $A B$ (по ту же, что и вершина $C$ ). Значит, эти лучи совпадают, точка $E^{'}$ лежит на прямой $M K$ и на прямой $C T$ , то есть $E^{'} = E$ . Поэтому $H E ⊥ C T$ , $M T E H$ — прямоугольник и $T H = M E$ . Что и требовалось доказать.

Это частный случай теоремы о прямой Симсона: точка $H$ лежит на окружности, описанной около треугольника $A T C$ , а основания перпендикуляров из неё на прямые $A T$ , $A C$ и $T C$ лежат на одной прямой.

б) Найдём $cos γ$ . Высота $B P$ равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, поэтому $P C = \frac{A C}{2} = 5$ . В прямоугольном треугольнике $B P C$ :

$cos γ = \frac{P C}{B C} = \frac{5}{13} .$

По пункту а) $∠ H E C = 9 0^{\circ}$ , и по условию $∠ H K C = 9 0^{\circ}$ . Значит, точки $E$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $H C$ . Точки $E$ и $H$ лежат по одну сторону от прямой $A C$ , поэтому вписанные углы $K E C$ и $K H C$ опираются на одну дугу $K C$ и равны. В прямоугольном треугольнике $H K C$

$∠ K E C = ∠ K H C = 9 0^{\circ} - ∠ H C K = 9 0^{\circ} - γ .$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $A T C$

$∠ E C K = ∠ T C A = 9 0^{\circ} - ∠ T A C = 9 0^{\circ} - γ .$

Углы $K E C$ и $E C K$ треугольника $E K C$ равны, поэтому он равнобедренный: $E K = K C$ .

Найдём $K C$ . В прямоугольном треугольнике $A H C$ катет $C H$ прилежит к углу $γ$ :

$C H = A C \cdot cos γ = 10 \cdot \frac{5}{13} = \frac{50}{13} .$

В прямоугольном треугольнике $H K C$ катет $K C$ тоже прилежит к углу $γ$ :

$K C = C H \cdot cos γ = \frac{50}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{250}{169} .$

Значит, $E K = K C = \frac{250}{169}$ .

Ответ: б) $\frac{250}{169}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18