ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть третья окружность имеет центр $I$ и радиус $r$ и касается прямой $O_1{O}_2$ в точке $K$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

$$IK\perp O_1{O}_2,IK=r.$$

Выясним, как третья окружность касается данных. Расстояние между центрами $O_1{O}_2=21$ больше суммы радиусов $2+9=11$, поэтому данные окружности лежат одна вне другой. Третья окружность касается прямой $O_1{O}_2$ и лежит по одну сторону от неё. У данных окружностей центры лежат на этой прямой, то есть у каждой есть точки по обе стороны от неё, поэтому внутри третьей окружности они оказаться не могут. Третья окружность не может лежать и внутри одной из данных: тогда у неё не было бы общих точек с другой данной окружностью, которая лежит снаружи. Значит, третья окружность касается обеих данных внешним образом, и расстояние между центрами равно сумме радиусов:

$$O_{1}I=r+2,O_{2}I=r+9.$$

Треугольники $O_{1}KI$ и $O_{2}KI$ прямоугольные с прямым углом $K$. По теореме Пифагора

$$O_1{K}^2=O_1{I}^2-I{K}^2=(r+2{)}^2-r^2=4r+4,$$

$$O_2{K}^2=O_2{I}^2-I{K}^2=(r+9{)}^2-r^2=18r+81.$$

Заметим, что $O_{1}K$ и $O_{2}K$ — отрезки касательных, проведённых к третьей окружности из точек $O_1$ и $O_2$. Те же равенства даёт теорема о касательной и секущей: например, $O_1{K}^2=O_{1}E\cdot O_{1}H$, где $E$ и $H$ — точки пересечения прямой $O_{1}I$ с третьей окружностью, $O_{1}E=2$, $O_{1}H=2+2r$.

Так как $O_2{K}^2-O_1{K}^2=14r+77>0$, точка $K$ ближе к $O_1$, чем к $O_2$. Значит, $K$ не может лежать на продолжении отрезка $O_1{O}_2$ за точку $O_2$ (там $O_{1}K>O_{2}K$). Кроме того, $K\ne O_1$, иначе $4r+4=0$. Остаются два случая. Обозначим $O_{1}K=x>0$.

Из первого равенства $4r=x^2-4$, то есть $18r=\frac{9}{2}{x}^2-18$ и

$$O_2{K}^2=18r+81=\frac{9}{2}{x}^2+63.$$

Случай 1. Точка $K$ лежит на отрезке $O_1{O}_2$. Тогда $O_{2}K=21-x$:

$$(21-x{)}^2=\frac{9}{2}{x}^2+63,$$

$$441-42x+x^2=\frac{9}{2}{x}^2+63\Rightarrow \frac{7}{2}{x}^2+42x-378=0\Rightarrow x^2+12x-108=0.$$

Дискриминант $D=144+432=576=24^2$, корни $x=\frac{-12\pm 24}{2}$, то есть $x=6$ или $x=-18$. Условию $x>0$ удовлетворяет $x=6$. Тогда

$$r=\frac{x^2-4}{4}=\frac{36-4}{4}=8.$$

Проверка: $O_{2}K=21-6=15$, и $15^2=225=18\cdot 8+81$.

Случай 2. Точка $K$ лежит на продолжении отрезка $O_1{O}_2$ за точку $O_1$, то есть за меньшую окружность. Тогда $O_{2}K=21+x$:

$$(21+x{)}^2=\frac{9}{2}{x}^2+63,$$

$$441+42x+x^2=\frac{9}{2}{x}^2+63\Rightarrow \frac{7}{2}{x}^2-42x-378=0\Rightarrow x^2-12x-108=0.$$

Корни $x=\frac{12\pm 24}{2}$, то есть $x=18$ или $x=-6$. Подходит $x=18$, тогда

$$r=\frac{18^2-4}{4}=\frac{320}{4}=80.$$

Проверка: $O_{2}K=21+18=39$, и $39^2=1521=18\cdot 80+81$.

Ответ: $8$ или $80$.