ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Пусть $M$ — середина $AB$, по условию она лежит на окружности. Вписанный угол $AMD$ опирается на диаметр $AD$, поэтому $\angle AMD=90^{\circ }$, то есть $DM\perp AB$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $DM$ — медиана (так как $M$ — середина $AB$) и высота (так как $DM\perp AB$). Если медиана треугольника совпадает с высотой, треугольник равнобедренный: прямоугольные треугольники $AMD$ и $BMD$ равны по двум катетам ($AM=MB$, $DM$ — общий), поэтому $DA=DB$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — центр окружности, это середина диаметра $AD$. Точка $D$ лежит и на окружности, и на прямой $CD$. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, поэтому прямая $CD$ касается окружности именно в точке $D$. Касательная перпендикулярна радиусу $OD$, проведённому в точку касания, значит, $CD\perp AD$ и $\angle ADC=90^{\circ }$.

Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD$. Углы $ADC$ и $BCD$ односторонние при этих прямых и секущей $CD$, поэтому

$$\angle BCD=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Треугольник $BCD$ прямоугольный с прямым углом $C$. Катет $BC$ лежит против угла $BDC=30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$BD=2BC=2\cdot 4=8.$$

По пункту а) $AD=BD=8$.

Второй катет треугольника $BCD$ найдём через котангенс угла $BDC$:

$$CD=BC\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=4\sqrt{3}.$$

Отрезок $CD$ перпендикулярен обоим основаниям, поэтому он и есть высота трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CD=\frac{8+4}{2}\cdot 4\sqrt{3}=24\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $24\sqrt{3}$.