Дан треугольник ABC. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K, а… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2025 развёрнутое

Дан треугольник $A B C$ . Биссектриса угла $A$ пересекает $B C$ в точке $K$ , а описанную около треугольника окружность — в точке $M$ .

a) Докажите, что треугольник $B C M$ — равнобедренный.

б) Найдите радиус описанной окружности около треугольника $K C M$ , если $A B = 8$ , $B C = 7$ , $A C = 6$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Биссектриса AM и окружность KCM

а) Так как $A M$ — биссектриса угла $A$ , то $∠ B A M = ∠ C A M$ . Это вписанные углы, они опираются на дуги $B M ⌣$ и $C M ⌣$ , не содержащие точку $A$ . Равные вписанные углы опираются на равные дуги, поэтому $B M ⌣ = C M ⌣$ . Равные дуги стягиваются равными хордами: $B M = C M$ . Значит, треугольник $B C M$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{C K}{K B} = \frac{A C}{A B} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .$

Пусть $C K = 3 t$ , $K B = 4 t$ . Тогда $B C = 7 t = 7$ , откуда $t = 1$ и $C K = 3$ .

Найдём косинус угла $A B C$ по теореме косинусов для треугольника $A B C$ :

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos ∠ A B C,$

$36 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot cos ∠ A B C \Rightarrow 112 cos ∠ A B C = 77 \Rightarrow cos ∠ A B C = \frac{11}{16} .$

Угол треугольника лежит между $0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$ , его синус положителен. По основному тригонометрическому тождеству

$sin ∠ A B C = 1 - \frac{121}{256} = \frac{135}{256} = \frac{3 15}{16} .$

Точка $K$ лежит на отрезке $A M$ , поэтому $∠ K M C = ∠ A M C$ . Точка $M$ лежит на дуге $B C$ , не содержащей $A$ , значит, точки $B$ и $M$ лежат на одной дуге $A C$ . Вписанные углы $A M C$ и $A B C$ опираются на одну и ту же дугу $A C ⌣$ , поэтому

$∠ K M C = ∠ A M C = ∠ A B C .$

Рисунок к решению

По теореме синусов для треугольника $K C M$ сторона $K C$ , делённая на синус противолежащего угла $K M C$ , равна удвоенному радиусу описанной окружности:

$R = \frac{K C}{2 sin ∠ K M C} = \frac{3}{2 \cdot \frac{3 15}{16}} = \frac{8}{15} = \frac{8 15}{15} .$

Ответ: б) $\frac{8 15}{15}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18