ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle NDC=\alpha$. Прямоугольные треугольники $NCD$ и $MBC$ равны по двум катетам: $CD=BC$ как стороны квадрата и $NC=MB$ как половины равных сторон. Значит, равны и соответственные углы:

$$\angle BCM=\angle NDC=\alpha .$$

Тогда $\angle MCD=90^{\circ }-\angle BCM=90^{\circ }-\alpha$. В треугольнике $KCD$ сумма двух углов равна

$$\angle KDC+\angle KCD=\alpha +\left(90^{\circ }-\alpha \right)=90^{\circ },$$

поэтому третий угол $\angle CKD=90^{\circ }$, то есть $CM\perp DN$. Углы $MKN$ и $CKD$ вертикальные, значит, $\angle MKN=90^{\circ }$.

Рассмотрим четырёхугольник $BMKN$. Сумма его противоположных углов

$$\angle MBN+\angle MKN=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

поэтому около него можно описать окружность. Треугольник $MBN$ прямоугольный и равнобедренный ($BM=BN$ как половины сторон квадрата), поэтому $\angle BNM=45^{\circ }$. Вписанные углы $BKM$ и $BNM$ опираются на одну дугу $BM$, значит, они равны:

$$\angle BKM=\angle BNM=45^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $\angle MDA=x$. Четырёхугольник $AMKD$ тоже вписанный: $\angle MAD=90^{\circ }$ (угол квадрата), $\angle MKD=90^{\circ }$ (так как $CM\perp DN$), и их сумма равна $180^{\circ }$. Вписанные углы $MKA$ и $MDA$ опираются на одну дугу $AM$, поэтому

$$\angle MKA=\angle MDA=x.$$

Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому луч $KM$ проходит внутри угла $AKB$, и по пункту а)

$$\angle AKB=\angle AKM+\angle MKB=x+45^{\circ }.$$

По теореме синусов для треугольника $ABK$:

$$2R=\frac{AB}{\sin \angle AKB}=\frac{AB}{\sin \left(x+45^{\circ }\right)}.$$

Найдём $\sin x$ и $\cos x$ из прямоугольного треугольника $MAD$. Его катеты $AM=\frac{AB}{2}=\sqrt{10}$ и $AD=2\sqrt{10}$, по теореме Пифагора

$$MD=\sqrt{A{M}^2+A{D}^2}=\sqrt{10+40}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

$$\sin x=\frac{AM}{MD}=\frac{\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos x=\frac{AD}{MD}=\frac{2\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

По формуле синуса суммы:

$$\sin \left(x+45^{\circ }\right)=\sin x\cos 45^{\circ }+\cos x\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

Тогда

$$2R=\frac{2\sqrt{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}=\frac{2\sqrt{10}\cdot 10}{3\sqrt{10}}=\frac{20}{3}\Rightarrow R=\frac{10}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{10}{3}$.