ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Точка $C$ не совпадает ни с одной из точек $P$, $Q$, $D$: иначе одна из длин $CQ=4$, $CD=12$ была бы неверной. Точки $P$, $Q$, $D$ делят окружность на три дуги, и точка $C$ лежит на одной из них. Разберём все три случая.

1) $C$ лежит на дуге $PD$, не содержащей $Q$. Тогда точки идут по окружности в порядке $Q$, $P$, $C$, $D$, и в четырёхугольнике $QPCD$ углы $Q$ и $C$ противоположные. Во вписанном четырёхугольнике их сумма равна $180^{\circ }$.

Но $PQ=PD$, поэтому треугольник $QPD$ равнобедренный с основанием $QD$, и угол $DQP$ при основании острый. Также $DC=DP$, поэтому треугольник $CDP$ равнобедренный с основанием $PC$, и угол $PCD$ при основании острый. Сумма двух острых углов меньше $180^{\circ }$ — противоречие. Этот случай невозможен.

2) $C$ лежит на дуге $QD$, не содержащей $P$. Тогда четырёхугольник $QPDC$ вписанный, и его противоположные углы $Q$ и $D$ в сумме дают $180^{\circ }$. Обозначим $\angle PQC=\alpha$, тогда $\angle PDC=180^{\circ }-\alpha$ и $\cos \angle PDC=-\cos \alpha$.

Выразим $C{P}^2$ по теореме косинусов из треугольников $PQC$ и $PDC$:

$$C{P}^2=P{Q}^2+Q{C}^2-2\cdot PQ\cdot QC\cos \alpha =144+16-96\cos \alpha =160-96\cos \alpha ,$$

$$C{P}^2=P{D}^2+D{C}^2-2\cdot PD\cdot DC\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)=288+288\cos \alpha .$$

Приравняем:

$$160-96\cos \alpha =288+288\cos \alpha \iff 384\cos \alpha =-128\iff \cos \alpha =-\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$C{P}^2=160-96\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=160+32=192,CP=\sqrt{192}=8\sqrt{3}.$$

3) $C$ лежит на дуге $QP$, не содержащей $D$. Тогда точки $Q$ и $D$ лежат по одну сторону от хорды $PC$, и вписанные углы $PQC$ и $PDC$ опираются на одну дугу. Обозначим $\angle PQC=\angle PDC=\alpha$. По теореме косинусов:

$$C{P}^2=160-96\cos \alpha ,C{P}^2=288-288\cos \alpha .$$

Приравняем:

$$160-96\cos \alpha =288-288\cos \alpha \iff 192\cos \alpha =128\iff \cos \alpha =\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$C{P}^2=160-96\cdot \frac{2}{3}=160-64=96,CP=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.$$

Убедимся, что оба случая реализуются. Построим треугольник $PQC$ с $PQ=12$, $QC=4$ и найденным $\cos \angle PQC$, а затем треугольник $PDC$ с $PD=DC=12$ на найденной стороне $PC$. Во втором случае $\cos \angle PDC=\frac{288-192}{288}=\frac{1}{3}=-\cos \angle PQC$; поместим $D$ по другую сторону от $PC$, чем $Q$, — сумма противоположных углов $Q$ и $D$ четырёхугольника $QPDC$ равна $180^{\circ }$, и он вписанный. В третьем случае $\cos \angle PDC=\frac{288-96}{288}=\frac{2}{3}=\cos \angle PQC$; поместим $D$ по ту же сторону от $PC$, что и $Q$, — точки $Q$ и $D$ видят отрезок $PC$ под равными углами и лежат на одной окружности с $P$ и $C$. В обоих построениях все четыре длины совпадают с данными.

Ответ: $8\sqrt{3}$ или $4\sqrt{6}$.