ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Прямая $AB$ касается окружности в точке $K$, а $KC$ — хорда. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны, поэтому

$$\angle CKB=\angle CPK.$$

Угол $CKB$ — острый угол прямоугольного треугольника $CBK$, значит, угол $CPK$ тоже острый. Поэтому основание $H$ перпендикуляра из $C$ на прямую $KP$ лежит на луче $PK$, и $\angle CPH=\angle CPK=\angle CKB$.

В треугольниках $CBK$ и $CHP$:

• $\angle CBK=\angle CHP=90^{\circ }$ (угол прямоугольника и $CH\perp KP$);
• $\angle CKB=\angle CPH$ (доказано выше).

Следовательно, $△CBK\sim △CHP$ по двум углам, что и требовалось доказать.

б) Точно так же прямая $AD$ касается окружности в точке $P$, и угол между касательной $PD$ и хордой $PC$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $PC$:

$$\angle CPD=\angle CKP.$$

Этот угол острый (острый угол прямоугольного треугольника $CDP$), поэтому $H$ лежит и на луче $KP$, и $\angle CKH=\angle CKP=\angle CPD$. В треугольниках $CDP$ и $CHK$ углы $D$ и $H$ прямые, а $\angle CPD=\angle CKH$. Значит, $△CDP\sim △CHK$ по двум углам.

Запишем отношения сходственных сторон. Из подобия $△CBK\sim △CHP$ (вершине $B$ соответствует $H$, вершине $K$ — $P$):

$$\frac{CB}{CH}=\frac{CK}{CP}.$$

Из подобия $△CDP\sim △CHK$ (вершине $D$ соответствует $H$, вершине $P$ — $K$):

$$\frac{CD}{CH}=\frac{CP}{CK}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{CB\cdot CD}{C{H}^2}=\frac{CK}{CP}\cdot \frac{CP}{CK}=1\Rightarrow CB\cdot CD=C{H}^2.$$

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

$$S_{ABCD}=CB\cdot CD=C{H}^2=8^2=64.$$

Ответ: б) $64$.