В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=60°… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

В треугольнике $A B C$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины сторон $B C$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ — высота, $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ , $∠ B C A = 4 5^{\circ}$ .

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1} H$ , если $B C = 23$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через середины сторон и основание высоты H

а) По сумме углов треугольника $∠ A B C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ . Углы $B$ и $C$ острые, поэтому основание $H$ высоты $A H$ лежит на стороне $B C$ .

Против большего угла лежит большая сторона: $∠ B > ∠ C$ , значит, $A C > A B$ . По теореме Пифагора в треугольниках $A H B$ и $A H C$ получаем $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} < A C^{2} - A H^{2} = C H^{2}$ , то есть $B H < C H$ . Поэтому $B H < \frac{B C}{2} = B A_{1}$ , и точка $H$ лежит между $B$ и $A_{1}$ , не совпадая с $A_{1}$ .

$C_{1} B_{1}$ — средняя линия треугольника $A B C$ , поэтому $C_{1} B_{1} ∥ B C$ и $C_{1} B_{1} = \frac{B C}{2}$ . Точки $H$ и $A_{1}$ лежат на прямой $B C$ , причём $H A_{1} < B A_{1} = \frac{B C}{2} = C_{1} B_{1}$ . Значит, $H A_{1} B_{1} C_{1}$ — трапеция с основаниями $H A_{1}$ и $C_{1} B_{1}$ (основания параллельны, но не равны).

Найдём её диагонали $H B_{1}$ и $A_{1} C_{1}$ :

$H B_{1}$ — медиана прямоугольного треугольника $A H C$ , проведённая к гипотенузе $A C$ ; такая медиана равна половине гипотенузы: $H B_{1} = \frac{A C}{2}$ ;
$A_{1} C_{1}$ — средняя линия треугольника $A B C$ , параллельная $A C$ : $A_{1} C_{1} = \frac{A C}{2}$ .

Диагонали трапеции равны, поэтому трапеция равнобедренная. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Следовательно, точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Найдём $A C$ по теореме синусов для треугольника $A B C$ :

$\frac{A C}{sin ∠ B} = \frac{B C}{sin ∠ A} \Rightarrow A C = \frac{2 3 \cdot sin 7 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{2 3 \cdot sin 7 5 ^{\circ}}{\frac{3}{2}} = 4 sin 7 5^{\circ} .$

По формуле синуса суммы:

$sin 7 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4} .$

Значит, $A C = 6 + 2$ .

В прямоугольном треугольнике $A H C$ катет $C H$ прилежит к углу $C = 4 5^{\circ}$ :

$C H = A C \cdot cos 4 5^{\circ} = (6 + 2) \cdot \frac{2}{2} = \frac{12 + 2}{2} = 3 + 1.$

Точка $A_{1}$ — середина $B C$ , поэтому $C A_{1} = 3$ . Как показано в пункте а), $H$ лежит между $B$ и $A_{1}$ , то есть $A_{1}$ лежит между $C$ и $H$ :

$A_{1} H = C H - C A_{1} = 3 + 1 - 3 = 1.$

Для контроля: треугольник $A H C$ равнобедренный прямоугольный, $A H = C H = 3 + 1$ , а $B H = A H \cdot ctg 7 5^{\circ} = (3 + 1) (2 - 3) = 3 - 1$ . Тогда $B H + H C = 23 = B C$ , и $A_{1} H = B A_{1} - B H = 3 - (3 - 1) = 1$ .

Ответ: б) $1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18