В выпуклом четырехугольнике ABCD: AB=3, BC=5, CD=5, AD=8, AC=7. а)… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2018 развёрнутое

В выпуклом четырехугольнике $A B C D :$ $A B = 3,$ $B C = 5,$ $C D = 5,$ $A D = 8,$ $A C = 7.$

а) Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

б) Найдите диагональ $B D .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ . Докажем, что $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ .

Диагональ $A C$ делит четырёхугольник на треугольники $A B C$ и $A D C$ . По теореме косинусов для треугольника $A B C$ :

$cos ∠ B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2} .$

По теореме косинусов для треугольника $A D C$ :

$cos ∠ D = \frac{A D ^{2} + C D ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A D \cdot C D} = \frac{64 + 25 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} .$

Углы треугольника лежат в промежутке $(0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ , поэтому $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ и

$∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ} .$

Следовательно, около четырёхугольника $A B C D$ можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Четырёхугольник вписанный, поэтому и $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , а значит,

$cos ∠ A = cos (18 0^{\circ} - ∠ C) = - cos ∠ C .$

Обозначим $B D = x$ . Диагональ $B D$ делит четырёхугольник на треугольники $A B D$ и $C B D$ . По теореме косинусов:

$cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A D ^{2} - B D ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A D} = \frac{9 + 64 - x ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{73 - x ^{2}}{48},$

$cos ∠ C = \frac{C B ^{2} + C D ^{2} - B D ^{2}}{2 \cdot C B \cdot C D} = \frac{25 + 25 - x ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{50 - x ^{2}}{50} .$

Подставим в равенство $cos ∠ A = - cos ∠ C$ :

$\frac{73 - x ^{2}}{48} = \frac{x ^{2} - 50}{50}, 50 (73 - x^{2}) = 48 (x^{2} - 50), 3650 - 50 x^{2} = 48 x^{2} - 2400, 98 x^{2} = 6050, x^{2} = \frac{3025}{49} .$

Так как $x > 0$ , получаем $x = \frac{55}{7}$ .

Проверим по теореме Птолемея: во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, $A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D$ , то есть $7 \cdot B D = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 8 = 55$ и $B D = \frac{55}{7}$ .

Ответ: б) $\frac{55}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18