ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Все углы треугольника $ABC$ острые, поэтому основание $C_1$ высоты лежит на стороне $AB$, а основание $B_1$ биссектрисы — на стороне $AC$. По сумме углов треугольника

$$\angle BAC=180^{\circ }-\angle ABC-\angle BCA=180^{\circ }-40^{\circ }-85^{\circ }=55^{\circ }.$$

Биссектриса делит угол $B$ пополам: $\angle ABM=\angle CBM=20^{\circ }$. Вписанные углы $CAM$ и $CBM$ опираются на одну дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{CM}}$, поэтому $\angle CAM=\angle CBM=20^{\circ }$. Прямая $B{B}_1$ пересекает $AC$ в точке $B_1$ и уходит к $M$ по другую сторону от $AC$, значит, луч $AC$ проходит внутри угла $BAM$:

$$\angle BAM=\angle BAC+\angle CAM=55^{\circ }+20^{\circ }=75^{\circ }.$$

Теперь найдём угол $NBC$. В прямоугольном треугольнике $AC{C}_1$ ($\angle A{C}_{1}C=90^{\circ }$):

$$\angle NCA=\angle C_{1}CA=90^{\circ }-\angle CA{C}_1=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }.$$

Вписанные углы $NBA$ и $NCA$ опираются на одну дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{AN}}$, поэтому $\angle NBA=35^{\circ }$. Высота $C{C}_1$ пересекает $AB$ в точке $C_1$, и точка $N$ лежит по другую сторону от $AB$, чем $C$. Значит, луч $BA$ проходит внутри угла $NBC$:

$$\angle NBC=\angle NBA+\angle ABC=35^{\circ }+40^{\circ }=75^{\circ }.$$

Треугольники $ABM$ и $NBC$ вписаны в одну окружность радиуса $R$. По теореме синусов хорда равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, опирающегося на неё:

$$BM=2R\sin \angle BAM=2R\sin 75^{\circ },CN=2R\sin \angle NBC=2R\sin 75^{\circ }.$$

Следовательно, $BM=CN$, что и требовалось доказать.

б) Углы $MNB$ и $MAB$ вписаны в окружность и опираются на одну дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{BM}}$ (точки $A$ и $N$ лежат на одной дуге, отсекаемой хордой $BM$). Поэтому

$$\angle MNB=\angle MAB=75^{\circ }.$$

Углы $MNB$ и $CBN$ — внутренние односторонние при прямых $NM$, $BC$ и секущей $BN$: точки $M$ и $C$ лежат по одну сторону от $BN$. Их сумма $75^{\circ }+75^{\circ }=150^{\circ }$ меньше $180^{\circ }$, поэтому лучи $NM$ и $BC$ пересекаются по эту сторону от $BN$. Значит, точка $D$ лежит на лучах $NM$ и $BC$, и в треугольнике $BDN$

$$\angle DNB=\angle MNB=75^{\circ },\angle DBN=\angle CBN=75^{\circ }.$$

Углы при стороне $BN$ равны, поэтому треугольник $BDN$ равнобедренный: $DB=DN$. Третий угол

$$\angle BDN=180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$ ($BH\perp DN$). Катет $BH$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$DB=2BH=2\cdot 7=14,DN=DB=14.$$

$BH$ — высота треугольника $BDN$, проведённая к стороне $DN$, поэтому

$$S_{BDN}=\frac{1}{2}\cdot DN\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 7=49.$$

Ответ: б) $49$.