Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2013 развёрнутое

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно касаются в точке $A .$ Прямая, проходящая через точку $A,$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $B,$ а большую — в точке $C .$ Найдите площадь выпуклого четырехугольника, вершинами которого являются точки $O_{1},$ $O_{2},$ $B$ и $C,$ если $∠ A B O_{1} = 1 5^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры. Окружности могут касаться внешним или внутренним образом, поэтому рассмотрим оба случая.

В обоих случаях треугольник $O_{1} A B$ равнобедренный: $O_{1} A = O_{1} B = 3$ как радиусы. Углы при его основании $A B$ равны: $∠ O_{1} A B = ∠ O_{1} B A = 1 5^{\circ}$ , а угол при вершине

$∠ A O_{1} B = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 1 5^{\circ} = 15 0^{\circ} .$

1) Внешнее касание. Точка $A$ лежит между центрами, $O_{1} O_{2} = 3 + 5 = 8$ . Окружности лежат по разные стороны от общей касательной в точке $A$ , поэтому $B$ и $C$ лежат на прямой по разные стороны от $A$ , и $∠ O_{2} A C = ∠ O_{1} A B = 1 5^{\circ}$ как вертикальные. Треугольник $O_{2} A C$ тоже равнобедренный ( $O_{2} A = O_{2} C = 5$ ), его угол при вершине $∠ A O_{2} C = 15 0^{\circ}$ .

Точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $O_{1} O_{2}$ , поэтому выпуклый четырёхугольник с данными вершинами — это $O_{1} B O_{2} C$ , и диагональ $O_{1} O_{2}$ делит его на треугольники $O_{1} B O_{2}$ и $O_{1} C O_{2}$ .

Опустим перпендикуляр $B H$ на прямую $O_{1} O_{2}$ . Угол $B O_{1} H$ смежный с углом $A O_{1} B$ , поэтому $∠ B O_{1} H = 18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ . В прямоугольном треугольнике $B O_{1} H$ катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы:

$B H = \frac{1}{2} O_{1} B = \frac{3}{2} .$

Аналогично перпендикуляр $C K$ на прямую $O_{1} O_{2}$ равен $C K = \frac{1}{2} O_{2} C = \frac{5}{2}$ .

Отрезки $B H$ и $C K$ — высоты треугольников $O_{1} B O_{2}$ и $O_{1} C O_{2}$ , проведённые к общей стороне $O_{1} O_{2}$ . Поэтому

$S_{O_{1} B O_{2} C} = \frac{1}{2} \cdot O_{1} O_{2} \cdot B H + \frac{1}{2} \cdot O_{1} O_{2} \cdot C K = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{5}{2}) = 16.$

2) Внутреннее касание. Центры лежат на одном луче, выходящем из $A$ : $A O_{1} = 3$ , $A O_{2} = 5$ , $O_{1} O_{2} = 5 - 3 = 2$ . Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной в точке $A$ , поэтому $B$ и $C$ лежат на одном луче из $A$ , и $∠ O_{2} A C = ∠ O_{1} A B = 1 5^{\circ}$ . Треугольник $O_{2} A C$ равнобедренный ( $O_{2} A = O_{2} C = 5$ ), $∠ A O_{2} C = 15 0^{\circ}$ .

Основание равнобедренного треугольника выражается через боковую сторону и угол при основании: $A B = 2 \cdot 3 cos 1 5^{\circ} = 6 cos 1 5^{\circ}$ , $A C = 2 \cdot 5 cos 1 5^{\circ} = 10 cos 1 5^{\circ}$ . Значит, $B$ лежит между $A$ и $C$ , а $O_{1}$ — между $A$ и $O_{2}$ . Треугольник $A O_{1} B$ содержится в треугольнике $A O_{2} C$ , и выпуклый четырёхугольник с данными вершинами — это $O_{1} O_{2} C B$ :

$S_{O_{1} O_{2} C B} = S_{A O_{2} C} - S_{A O_{1} B} .$

Как и в первом случае, высота треугольника $A O_{1} B$ , опущенная на прямую $A O_{1}$ , равна $B H = \frac{1}{2} O_{1} B = \frac{3}{2}$ , а высота треугольника $A O_{2} C$ , опущенная на прямую $A O_{2}$ , равна $C K = \frac{1}{2} O_{2} C = \frac{5}{2}$ (смежные углы при вершинах $O_{1}$ и $O_{2}$ равны $3 0^{\circ}$ ). Тогда

$S_{O_{1} O_{2} C B} = \frac{1}{2} \cdot A O_{2} \cdot C K - \frac{1}{2} \cdot A O_{1} \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{25}{4} - \frac{9}{4} = 4.$

Ответ: $16$ или $4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18