ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Диагональ $AC$ — диаметр описанной окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому

$$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }.$$

Обозначим $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Треугольники $ABC$ и $ADC$ прямоугольные с общей гипотенузой $AC$, по теореме Пифагора

$$a^2+b^2=A{C}^2=c^2+d^2.$$

В четырёхугольник можно вписать окружность, а в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$$a+c=b+d.$$

Перенесём слагаемые в равенстве для квадратов и разложим разности квадратов:

$$a^2-c^2=d^2-b^2\iff (a-c)(a+c)=(d-b)(d+b).$$

Так как $a+c=b+d>0$, разделим обе части на эту сумму и получим $a-c=d-b$. Имеем систему

$$\{\begin{array}{l}a+c=b+d,\\ a-c=d-b.\end{array}$$

Сложим уравнения: $2a=2d$, то есть $a=d$. Подставив в первое уравнение, получим $c=b$. Итак,

$$AB=AD,CB=CD.$$

Точка $A$ равноудалена от концов отрезка $BD$, значит, лежит на его серединном перпендикуляре. Точка $C$ тоже равноудалена от $B$ и $D$ и тоже лежит на нём. Две различные точки задают прямую, поэтому $AC$ — серединный перпендикуляр к отрезку $BD$. Следовательно, $AC\perp BD$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Так как $AC$ — серединный перпендикуляр к $BD$, точка $O$ — середина $BD$:

$$BO=DO=\frac{BD}{2}=15.$$

Радиус вписанной окружности найдём по формуле $r=\frac{S}{p}$, где $S$ — площадь четырёхугольника, а $p$ — его полупериметр.

Диагонали перпендикулярны, поэтому площадь равна половине их произведения (четырёхугольник делится диагональю $AC$ на треугольники $ABC$ и $ADC$ с высотами $BO$ и $DO$):

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 34\cdot 30=510.$$

Найдём стороны. Пусть $AO=x$, тогда $OC=34-x$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $BO$ — высота, проведённая к гипотенузе, а квадрат такой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$$\begin{array}{c}B{O}^2=AO\cdot OC,\\ 15^2=x(34-x),\\ x^2-34x+225=0.\end{array}$$

Дискриминант $34^2-4\cdot 225=1156-900=256$, корни

$$x=\frac{34\pm 16}{2},x=25\text{или}x=9.$$

Два корня отличаются только тем, какой из концов диагонали назван $A$, а какой $C$; полупериметр от этого не меняется. Возьмём $AO=25$, $OC=9$. По теореме Пифагора в треугольниках $AOB$ и $COB$:

$$AB=\sqrt{25^2+15^2}=\sqrt{850}=5\sqrt{34},BC=\sqrt{9^2+15^2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}.$$

Так как $AD=AB$ и $CD=CB$, полупериметр равен

$$p=\frac{2AB+2BC}{2}=AB+BC=8\sqrt{34}.$$

Тогда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{510}{8\sqrt{34}}=\frac{255}{4\sqrt{34}}=\frac{255\sqrt{34}}{136}=\frac{15\sqrt{34}}{8}.$$

Ответ: б) $\frac{15\sqrt{34}}{8}$.