ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Высоты остроугольного треугольника пересекаются внутри него. Пусть $O$ — точка пересечения высот $AK$ и $CM$.

В треугольнике $AMO$ угол $M$ прямой ($CM\perp AB$), и $ME$ — его высота, проведённая к гипотенузе $AO$, поэтому точка $E$ лежит на отрезке $AO$. Аналогично в треугольнике $OKC$ угол $K$ прямой, и точка $H$ лежит на отрезке $OC$.

Точки $M$ и $K$ видят отрезок $AC$ под прямым углом: $\angle AMC=\angle AKC=90^{\circ }$. Значит, они лежат на окружности с диаметром $AC$, то есть четырёхугольник $AMKC$ вписанный. Углы $CAK$ и $CMK$ вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу $CK$, поэтому

$$\angle CAK=\angle CMK.$$

Точки $E$ и $H$ видят отрезок $MK$ под прямым углом: $\angle MEK=\angle MHK=90^{\circ }$. Значит, четырёхугольник $MEHK$ вписан в окружность с диаметром $MK$. Углы $HMK$ и $HEK$ опираются в ней на одну дугу $HK$:

$$\angle HMK=\angle HEK.$$

Точка $H$ лежит на отрезке $MC$, поэтому $\angle CMK=\angle HMK$. Получаем цепочку

$$\angle CAK=\angle CMK=\angle HMK=\angle HEK.$$

Точки $A$ и $E$ лежат на прямой $AK$, лучи $AK$ и $EK$ направлены одинаково, а точки $C$ и $H$ лежат по одну сторону от $AK$. Значит, $\angle CAK$ и $\angle HEK$ — соответственные углы при прямых $AC$, $EH$ и секущей $AK$. Они равны, поэтому $EH\parallel AC$, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники $EOH$ и $AOC$. Угол $O$ у них общий, а $\angle OEH=\angle OAC$ как соответственные при $EH\parallel AC$. Значит, треугольники подобны по двум углам, и

$$\frac{EH}{AC}=\frac{OE}{OA}.$$

Найдём это отношение. В прямоугольном треугольнике $AKB$ ($\angle AKB=90^{\circ }$):

$$\angle KAB=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$$

Точка $M$ лежит на стороне $AB$, а $O$ — на $AK$, поэтому в прямоугольном треугольнике $AMO$ угол $MAO$ равен $45^{\circ }$, и второй острый угол тоже равен $45^{\circ }$:

$$\angle MOA=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$$

Значит, треугольник $AMO$ равнобедренный прямоугольный с основанием $AO$. Его высота $ME$, проведённая к основанию, является и медианой: $AE=EO$, то есть $OE=\frac{1}{2}OA$.

Тогда

$$\frac{EH}{AC}=\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: б) $1:2$.