ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $AB=5c$, $AC=5b$, $BC=5a$. Из условия $BE:EA=3:2$ следует $BE=3c$, $AE=2c$, а из условия $BF:FC=3:2$ — $BF=3a$, $FC=2a$.

Треугольники $EBF$ и $ABC$ имеют общий угол $B$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны:

$$\frac{BE}{BA}=\frac{3c}{5c}=\frac{3}{5}=\frac{3a}{5a}=\frac{BF}{BC}.$$

Значит, $△EBF\sim △ABC$ по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом $\frac{3}{5}$. Отсюда

$$EF=\frac{3}{5}AC=3b,$$

а из равенства соответственных углов $\angle BEF=\angle BAC$ получаем $EF\parallel AC$.

Периметр треугольника равен $30$:

$$5a+5b+5c=30\iff a+b+c=6.$$

Вписанная окружность треугольника касается прямой $AC$ и, по условию, параллельной ей прямой $EF$. Окружность, касающаяся двух параллельных прямых, лежит между ними, поэтому она касается сторон $AB$ и $BC$ в точках отрезков $AE$ и $FC$. Значит, эта окружность вписана в четырёхугольник $AEFC$. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$$AE+FC=EF+AC\iff 2c+2a=3b+5b\iff a+c=4b.$$

Подставим это в равенство для периметра:

$$(a+c)+b=6\iff 4b+b=6\iff b=\frac{6}{5}.$$

Следовательно, $AC=5b=6$, что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $AC=6$, тогда $AB+BC=30-6=24$. Обозначим $BC=x$, тогда $AB=24-x$.

Угол $C$ прямой, поэтому $AB$ — гипотенуза, и по теореме Пифагора $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$:

$$\begin{array}{c}{6}^2+x^2=(24-x{)}^2,\\ 36+x^2=576-48x+x^2,\\ 48x=540,\\ x=\frac{45}{4}.\end{array}$$

Тогда $BC=\frac{45}{4}$, $AB=24-\frac{45}{4}=\frac{51}{4}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{45}{4}=\frac{135}{4}=33,75.$$

Для контроля проверим условие касания: $AE=\frac{2}{5}\cdot \frac{51}{4}=5,1$, $FC=\frac{2}{5}\cdot \frac{45}{4}=4,5$, $EF=\frac{3}{5}\cdot 6=3,6$, и действительно $AE+FC=9,6=EF+AC$.

Ответ: б) $33,75$.