ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Окружность касается обеих сторон угла $ANB$, поэтому её центр $O$ равноудалён от сторон угла и лежит на его биссектрисе. Значит, $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Поэтому треугольник $ANB$ равнобедренный с основанием $AB$, а его биссектриса $NO$ является также высотой: $NO\perp AB$.

Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому он прямой: $AC\perp AB$.

Прямые $NO$ и $AC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, значит, они параллельны (и не совпадают, так как точка $A$ не лежит на биссектрисе $NO$). Итак, $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$, что и требовалось доказать.

б) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: $\angle OAN=\angle OBN=90^{\circ }$. Сумма противоположных углов $A$ и $B$ четырёхугольника $ANBO$ равна $180^{\circ }$, поэтому около него можно описать окружность (это окружность с диаметром $NO$).

Углы $ANO$ и $ABO$ вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу $AO$, поэтому

$$\angle ANO=\angle ABO=\angle ABC.$$

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC$. В них $\angle NAO=\angle BAC=90^{\circ }$ и $\angle ANO=\angle ABC$. Значит, $△ANO\sim △ABC$ по двум углам, причём вершине $N$ соответствует $B$, а вершине $O$ — $C$:

$$\frac{NO}{BC}=\frac{AO}{AC}=\frac{AN}{AB}.$$

Найдём диаметр $BC$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{42^2+40^2}=\sqrt{1764+1600}=\sqrt{3364}=58.$$

Точка $O$ — центр окружности, поэтому радиус $AO=\frac{BC}{2}=29$. Из отношения подобия

$$NO=\frac{AO\cdot BC}{AC}=\frac{29\cdot 58}{40}=\frac{1682}{40}=\frac{841}{20}.$$

Проверим другим способом. Пусть $T$ — точка пересечения $NO$ и $AB$; так как $NO\perp AB$ и $OA=OB$, то $T$ — середина $AB$, и $OT$ — средняя линия треугольника $BAC$: $OT=\frac{AC}{2}=20$. В прямоугольном треугольнике $NAO$ отрезок $AT$ — высота, поэтому катет $AO$ есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $A{O}^2=OT\cdot NO$, откуда $NO=\frac{841}{20}$.

Ответ: б) $\frac{841}{20}$.