ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Треугольник остроугольный, поэтому $O$ лежит внутри него и не лежит ни на одной из сторон.

Центр описанной окружности лежит на серединных перпендикулярах к сторонам. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон, поэтому

$$O{A}_1\perp BC,O{B}_1\perp AC,O{C}_1\perp AB.$$

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $A_1{B}_{1}C$. Точки $A_1$ и $B_1$ видят отрезок $OC$ под прямым углом: $\angle O{A}_{1}C=\angle O{B}_{1}C=90^{\circ }$. Значит, они лежат на окружности с диаметром $OC$. Эта окружность проходит через три точки $A_1$, $B_1$, $C$, не лежащие на одной прямой, а такая окружность единственна. Следовательно, окружность, описанная около треугольника $A_1{B}_{1}C$, — это окружность с диаметром $OC$, и она проходит через $O$.

Точно так же $\angle O{A}_{1}B=\angle O{C}_{1}B=90^{\circ }$, поэтому окружность, описанная около треугольника $A_{1}B{C}_1$, — это окружность с диаметром $OB$, и она тоже проходит через $O$.

Окружности с диаметрами $OC$ и $OB$ различны, а две различные окружности имеют не более двух общих точек. Обе проходят через $A_1$ и через $O$, причём $O\ne A_1$ ($A_1$ лежит на стороне $BC$, а $O$ — внутри треугольника). Значит, $O$ и есть отличная от $A_1$ точка пересечения этих окружностей.

Осталось заметить, что $\angle A{B}_{1}O=\angle A{C}_{1}O=90^{\circ }$: в четырёхугольнике $A{B}_{1}O{C}_1$ сумма противоположных углов при вершинах $B_1$ и $C_1$ равна $180^{\circ }$, поэтому около него можно описать окружность. Это окружность с диаметром $AO$, она проходит через $A$, $B_1$, $C_1$, то есть является описанной окружностью треугольника $A{B}_1{C}_1$, и содержит точку $O$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $I_A$, $I_B$, $I_C$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $A{B}_1{C}_1$, $A_{1}B{C}_1$ и $A_1{B}_{1}C$ соответственно.

Отрезки $A_1{B}_1$, $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$ — средние линии треугольника $ABC$, каждая равна половине параллельной ей стороны. Поэтому

$$A{C}_1=C_{1}B=A_1{B}_1=\frac{AB}{2},A{B}_1=B_{1}C=A_1{C}_1=\frac{AC}{2},B{A}_1=A_{1}C=B_1{C}_1=\frac{BC}{2}.$$

Значит, треугольники $A{C}_1{B}_1$, $C_{1}B{A}_1$ и $B_1{A}_{1}C$ равны по трём сторонам: у каждого стороны равны половинам сторон $ABC$. В треугольниках $A{C}_1{B}_1$ и $C_{1}B{A}_1$ вершине $A$ соответствует вершина $C_1$, а вершине $C_1$ — вершина $B$.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $A{I}_A=C_1{I}_B$. Кроме того, центр вписанной окружности лежит на биссектрисах, и

$$\angle I_{A}A{C}_1=\frac{1}{2}\angle B_{1}A{C}_1=\frac{1}{2}\angle A_1{C}_{1}B=\angle I_B{C}_{1}B.$$

Углы $I_{A}A{C}_1$ и $I_B{C}_{1}B$ — соответственные при прямых $A{I}_A$, $C_1{I}_B$ и секущей $AB$, а точки $I_A$ и $I_B$ лежат по одну сторону от $AB$. Значит, $A{I}_A\parallel C_1{I}_B$. Отрезки $A{I}_A$ и $C_1{I}_B$ равны, параллельны и направлены в одну сторону, поэтому $A{I}_A{I}_B{C}_1$ — параллелограмм. Его противоположные стороны равны:

$$I_A{I}_B=A{C}_1=\frac{AB}{2}.$$

Аналогично, сравнивая треугольники $A{C}_1{B}_1$ и $B_1{A}_{1}C$, получаем $I_A{I}_C=A{B}_1=\frac{AC}{2}$, а сравнивая $C_{1}B{A}_1$ и $B_1{A}_{1}C$ — $I_B{I}_C=B{A}_1=\frac{BC}{2}$.

Итак, стороны треугольника $I_A{I}_B{I}_C$ вдвое меньше соответствующих сторон треугольника $ABC$, и треугольники подобны по трём сторонам с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Радиусы описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому искомый радиус равен половине радиуса $R$ окружности, описанной около $ABC$.

Найдём $R$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, его высота из $A$ является медианой и делит $BC$ пополам. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB=13$ и катетом $\frac{BC}{2}=5$:

$$\cos \angle B=\frac{5}{13},\sin \angle B=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

По теореме синусов $\frac{AC}{\sin \angle B}=2R$:

$$2R=\frac{13}{\frac{12}{13}}=\frac{169}{12},R=\frac{169}{24}.$$

Тогда радиус окружности, описанной около треугольника $I_A{I}_B{I}_C$, равен

$$\frac{R}{2}=\frac{169}{48}.$$

Ответ: б) $\frac{169}{48}$.