В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2015 развёрнутое

В прямоугольной трапеции $A B C D$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $A D,$ вторая — боковых сторон, меньшего основания $B C$ и первой окружности.

a) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $A D$ в точке $P .$

Докажите, что $A P : P D = sin ∠ D .$

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Основания трапеции различны ( $A D$ — большее), поэтому боковые стороны $A B$ и $C D$ не параллельны. Продлим их за точки $B$ и $C$ до пересечения в точке $E$ . Получится прямоугольный треугольник $A E D$ с прямым углом $A$ , от которого прямая $B C ∥ A D$ отсекает треугольник $E B C$ .

Обозначим центр меньшей окружности $O_{1}$ , а центр большей — $O_{2}$ . Каждая окружность касается прямых $E A$ и $E D$ и лежит внутри угла $A E D$ . Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, равноудалён от этих сторон, а значит, лежит на биссектрисе угла. Поэтому обе точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на биссектрисе угла $A E D$ , и прямая $O_{1} O_{2}$ — это и есть его биссектриса.

Следовательно, $E P$ — биссектриса треугольника $A E D$ . По свойству биссектрисы треугольника она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{A P}{P D} = \frac{A E}{E D} .$

В прямоугольном треугольнике $A E D$ отношение катета $A E$ к гипотенузе $E D$ равно синусу противолежащего угла:

$\frac{A E}{E D} = sin ∠ A D E .$

Точка $E$ лежит на луче $D C$ , поэтому угол $A D E$ совпадает с углом $D$ трапеции. Итак, $A P : P D = sin ∠ D$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть меньшая окружность (радиус $1$ ) касается прямой $A B$ в точке $K$ , а большая (радиус $3$ ) — в точке $L$ . Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов:

$O_{1} O_{2} = 1 + 3 = 4.$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O_{1} K ⊥ A B$ и $O_{2} L ⊥ A B$ , значит, $O_{1} K ∥ O_{2} L$ . Опустим из $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1} H$ на $O_{2} L$ . В четырёхугольнике $K O_{1} H L$ три угла прямые, это прямоугольник, поэтому

$L H = K O_{1} = 1, H O_{2} = O_{2} L - L H = 3 - 1 = 2, K L = O_{1} H .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $O_{1} H O_{2}$ :

$O_{1} H = O_{1} O_{2}^{2} - H O_{2}^{2} = 16 - 4 = 23 .$

Катет $H O_{2} = 2$ равен половине гипотенузы $O_{1} O_{2} = 4$ , поэтому противолежащий ему угол равен $3 0^{\circ}$ : $∠ H O_{1} O_{2} = 3 0^{\circ}$ .

По пункту а) прямая $O_{1} O_{2}$ проходит через $E$ , а $O_{1} H ∥ K L$ , то есть $O_{1} H ∥ E A$ . Углы $H O_{1} O_{2}$ и $K E O_{1}$ — соответственные при параллельных прямых $O_{1} H$ , $E A$ и секущей $E O_{2}$ , поэтому

$∠ K E O_{1} = ∠ H O_{1} O_{2} = 3 0^{\circ} .$

Так как $E O_{1}$ — биссектриса угла $A E D$ , то $∠ A E D = 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

Теперь найдём отрезки на прямой $A B$ . В прямоугольном треугольнике $E K O_{1}$ катет $O_{1} K = 1$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ , поэтому

$E K = O_{1} K \cdot ctg 3 0^{\circ} = 3 .$

Угол $B$ трапеции прямой, и меньшая окружность касается обеих его сторон $B A$ и $B C$ . Точка $B$ , две точки касания и центр $O_{1}$ образуют квадрат со стороной $1$ (три прямых угла и равные радиусы), поэтому $B K = 1$ . Окружность лежит внутри трапеции, значит, $K$ лежит на стороне $A B$ и $B$ находится между $E$ и $K$ . Аналогично большая окружность вписана в прямой угол $A$ , поэтому $A L = 3$ . Получаем:

$E B = E K - B K = 3 - 1,$

$A E = E K + K L + L A = 3 + 23 + 3 = 33 + 3,$

$A B = A E - E B = 33 + 3 - (3 - 1) = 23 + 4.$

Треугольники $E B C$ и $E A D$ прямоугольные (углы $B$ и $A$ прямые) с углом $6 0^{\circ}$ при вершине $E$ . Противолежащий катет равен прилежащему, умноженному на тангенс угла:

$B C = E B \cdot tg 6 0^{\circ} = (3 - 1) 3 = 3 - 3,$

$A D = A E \cdot tg 6 0^{\circ} = (33 + 3) 3 = 9 + 33 .$

Высота прямоугольной трапеции — боковая сторона $A B$ . Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$S_{A B C D} = \frac{A D + B C}{2} \cdot A B = \frac{12 + 2 3}{2} \cdot (4 + 23) = (6 + 3) (4 + 23) = 24 + 123 + 43 + 6 = 30 + 163 .$

Для контроля: $∠ D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ , и по пункту а) прямая центров делит $A D$ в отношении $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Ответ: б) $30 + 163$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18