В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2016 развёрнутое

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ — середины катетов $A C$ и $B C$ соответственно, $C H$ — высота.

а) Докажите, что прямые $M H$ и $N H$ перпендикулярны.

б) Пусть $P$ — точка пересечения прямых $A C$ и $N H,$ а $Q$ — точка пересечения прямых $B C$ и $M H .$ Найдите площадь треугольника $P QM,$ если $A H = 12$ и $B H = 3.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Треугольник $A H C$ прямоугольный с прямым углом $H$ , а $H M$ — его медиана, проведённая к гипотенузе $A C$ . Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому

$M H = \frac{A C}{2} = M C .$

Точно так же в прямоугольном треугольнике $B H C$ медиана $H N$ равна половине гипотенузы $B C$ : $N H = N C$ .

Треугольники $M H N$ и $M C N$ равны по трём сторонам: $M N$ — общая, $M H = M C$ , $N H = N C$ . Значит, их соответственные углы равны:

$∠ M H N = ∠ M C N = ∠ A C B = 9 0^{\circ} .$

Прямые $M H$ и $N H$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы:

$C H^{2} = A H \cdot B H = 12 \cdot 3 = 36, C H = 6.$

По теореме Пифагора для треугольника $A H C$

$A C = A H^{2} + C H^{2} = 144 + 36 = 180 = 65, M C = M H = 35 .$

Найдём угол между прямыми $A C$ и $M H$ . По теореме косинусов для треугольника $M C H$

$C H^{2} = M C^{2} + M H^{2} - 2 \cdot M C \cdot M H \cdot cos ∠ C M H, 36 = 45 + 45 - 90 cos ∠ C M H,$

откуда $cos ∠ C M H = \frac{54}{90} = 0, 6$ . Угол $C M H$ острый; обозначим его $φ$ . Тогда

$sin φ = 1 - 0, 36 = 0, 8, tg φ = \frac{0 , 8}{0 , 6} = \frac{4}{3} .$

Треугольник $M C Q$ прямоугольный с прямым углом $C$ (так как $B C ⊥ A C$ ). Его острый угол $QM C$ образован прямыми $A C$ и $M H$ , поэтому он равен острому углу между ними: $∠ QM C = φ$ . Значит,

$M Q = \frac{M C}{cos φ} = \frac{3 5}{0 , 6} = 55 .$

Треугольник $M H P$ прямоугольный с прямым углом $H$ (по пункту а) $N H ⊥ M H$ ). Его острый угол $P M H$ тоже образован прямыми $A C$ и $M H$ , поэтому $∠ P M H = φ$ , и

$P H = M H \cdot tg φ = 35 \cdot \frac{4}{3} = 45 .$

Точка $Q$ лежит на прямой $M H$ , а $P H ⊥ M H$ , поэтому $P H$ — высота треугольника $P QM$ , проведённая к стороне $M Q$ . Площадь

$S_{P QM} = \frac{1}{2} \cdot M Q \cdot P H = \frac{1}{2} \cdot 55 \cdot 45 = 50.$

Ответ: б) $50$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18