ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Равные хорды одной окружности находятся на равных расстояниях от её центра. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам, поэтому основание перпендикуляра из $O$ на каждую сторону — середина высекаемой хорды — лежит на самой стороне трапеции. Итак, точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, а основания перпендикуляров из неё лежат на сторонах.

Точка, равноудалённая от прямых $AB$ и $AD$, лежит либо на биссектрисе угла $BAD$, либо на биссектрисе смежного с ним угла. Во втором случае одно основание перпендикуляра попало бы на сторону, а другое — на продолжение другой стороны за точку $A$. У нас оба основания лежат на сторонах, поэтому $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. Так же $O$ лежит на биссектрисах углов $B$, $C$ и $D$.

Значит, биссектрисы всех углов трапеции проходят через точку $O$. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим через $\rho$ общее расстояние от $O$ до сторон. Окружность с центром $O$ радиуса $\rho$ касается всех сторон трапеции, то есть это вписанная окружность.

Опустим перпендикуляр $OH$ на сторону $AB$. Точка $H$ — середина хорды $KL$, поэтому $KH=HL=3$, и

$$AH=AK+KH=15+3=18,BH=HL+LB=3+5=8.$$

Сторона $AB$ боковая, поэтому углы $A$ и $B$ трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей $AB$: $\angle A+\angle B=180^{\circ }$. Так как $AO$ и $BO$ — биссектрисы,

$$\angle OAB+\angle OBA=\frac{\angle A+\angle B}{2}=90^{\circ },\angle AOB=90^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$$OH=\sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{18\cdot 8}=\sqrt{144}=12.$$

Опустим из $O$ перпендикуляры $OM$ и $ON$ на основания $BC$ и $AD$. Они перпендикулярны параллельным прямым, поэтому точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой, и $MN$ — высота трапеции. При этом $OM=ON=OH=12$, значит,

$$MN=OM+ON=24.$$

Ответ: б) $24$.