В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы сложная 2026 развёрнутое

В параллелограмме $A B C D$ угол $B A C$ вдвое больше угла $C A D .$ Биссектриса угла $B A C$ пересекает отрезок $B C$ в точке $L .$ На продолжении стороны $C D$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $A E = C E .$

a) Докажите, что $A L \cdot B C = A B \cdot A C .$

б) Найдите длину отрезка $E L,$ если $A C = 16, tg ∠ B C A = \frac{1}{2} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $∠ C A D = φ$ . По условию $∠ B A C = 2 φ$ , а $A L$ — биссектриса этого угла, поэтому

$∠ B A L = ∠ L A C = φ .$

В параллелограмме $A D ∥ B C$ , поэтому $∠ B C A = ∠ C A D = φ$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A D$ , $B C$ и секущей $A C$ .

Угол $B L A$ — внешний угол треугольника $A L C$ , он равен сумме двух углов, не смежных с ним:

$∠ B L A = ∠ L A C + ∠ L C A = φ + φ = 2 φ = ∠ B A C .$

Рассмотрим треугольники $B A C$ и $B L A$ . Угол $B$ у них общий, а $∠ B A C = ∠ B L A$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $A$ треугольника $B A C$ соответствует вершина $L$ , а вершине $C$ — вершина $A$ . Запишем отношение соответственных сторон:

$\frac{A C}{L A} = \frac{B C}{B A} \Rightarrow A L \cdot B C = A B \cdot A C .$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — середина $A C$ , тогда $A O = C O = 8$ .

В треугольнике $A L C$ углы при стороне $A C$ равны: $∠ L A C = ∠ L C A = φ$ . Значит, он равнобедренный с основанием $A C$ , и его медиана $L O$ является высотой: $L O ⊥ A C$ .

В треугольнике $A E C$ по условию $A E = C E$ , поэтому его медиана $E O$ тоже является высотой: $E O ⊥ A C$ .

Итак, точки $L$ и $E$ лежат на одной прямой — перпендикуляре к $A C$ в точке $O$ . Точка $L$ лежит на стороне $B C$ , то есть по ту же сторону от $A C$ , что и $B$ . Точка $E$ лежит на продолжении $C D$ за $D$ , то есть по ту же сторону от $A C$ , что и $D$ . Вершины $B$ и $D$ параллелограмма лежат по разные стороны от диагонали $A C$ , поэтому точка $O$ лежит между $L$ и $E$ :

$E L = E O + O L .$

Найдём $O L$ из прямоугольного треугольника $A O L$ . Так как $∠ L A O = φ$ и $tg φ = tg ∠ B C A = \frac{1}{2}$ ,

$O L = A O \cdot tg ∠ L A O = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.$

Найдём $E O$ из прямоугольного треугольника $C O E$ . Луч $C E$ совпадает с лучом $C D$ , а $∠ D C A = ∠ B A C = 2 φ$ как накрест лежащие при $A B ∥ C D$ и секущей $A C$ . Значит,

$E O = C O \cdot tg ∠ E C O = 8 tg 2 φ .$

По формуле тангенса двойного угла

$tg 2 φ = \frac{2 tg φ}{1 - tg ^{2} φ} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3},$

поэтому $E O = 8 \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{3}$ .

Окончательно

$E L = E O + O L = \frac{32}{3} + 4 = \frac{44}{3} .$

Ответ: б) $\frac{44}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18