ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Третий угол треугольника: $\angle A=180^{\circ }-40^{\circ }-85^{\circ }=55^{\circ }$.

Так как $B{B}_1$ — биссектриса, $\angle ABM=\angle MBC=\frac{40^{\circ }}{2}=20^{\circ }$.

Углы $A$ и $B$ острые, поэтому основание $C_1$ высоты $C{C}_1$ лежит на стороне $AB$. Из прямоугольных треугольников $AC{C}_1$ и $BC{C}_1$:

$$\angle ACN=\angle AC{C}_1=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ },\angle BCN=\angle BC{C}_1=90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }.$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Найдём дуги (каждый раз берём дугу, не содержащую вершину угла):

• $\angle ABM=20^{\circ }$, поэтому $\stackrel{⌣}{\mathrm{AM}}=40^{\circ }$;
• $\angle MBC=20^{\circ }$, поэтому $\stackrel{⌣}{\mathrm{MC}}=40^{\circ }$;
• $\angle ACN=35^{\circ }$, поэтому $\stackrel{⌣}{\mathrm{AN}}=70^{\circ }$;
• $\angle BCN=50^{\circ }$, поэтому $\stackrel{⌣}{\mathrm{NB}}=100^{\circ }$;
• $\angle BAC=55^{\circ }$, поэтому $\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}=110^{\circ }$.

Проверка: $40^{\circ }+40^{\circ }+70^{\circ }+100^{\circ }+110^{\circ }=360^{\circ }$. Значит, точки идут по окружности в порядке $A$, $N$, $B$, $C$, $M$.

Хорда $BM$ стягивает дугу $BCM$, не содержащую точек $A$ и $N$:

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{BCM}}=\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}+\stackrel{⌣}{\mathrm{CM}}=110^{\circ }+40^{\circ }=150^{\circ }.$$

Хорда $CN$ стягивает дугу $CMAN$, не содержащую точку $B$:

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{CMAN}}=\stackrel{⌣}{\mathrm{CM}}+\stackrel{⌣}{\mathrm{MA}}+\stackrel{⌣}{\mathrm{AN}}=40^{\circ }+40^{\circ }+70^{\circ }=150^{\circ }.$$

Равные дуги одной окружности стягиваются равными хордами, поэтому $BM=CN$. Что и требовалось доказать.

б) Вписанный угол $BNM$ опирается на дугу $BCM=150^{\circ }$, а вписанный угол $NBC$ — на дугу $CMAN=150^{\circ }$. Поэтому

$$\angle BNM=\angle NBC=\frac{150^{\circ }}{2}=75^{\circ }.$$

Точки $N$, $B$, $C$, $M$ идут по окружности именно в этом порядке, поэтому $NBCM$ — выпуклый вписанный четырёхугольник. Его углы при вершинах $B$ и $N$ в сумме дают $75^{\circ }+75^{\circ }=150^{\circ }<180^{\circ }$, поэтому прямые $BC$ и $NM$ пересекаются по ту сторону от $BN$, где лежат $C$ и $M$: точка $D$ лежит на продолжениях отрезков $BC$ и $NM$ за точки $C$ и $M$. Значит, в треугольнике $BDN$

$$\angle DBN=\angle CBN=75^{\circ },\angle BND=\angle BNM=75^{\circ },\angle BDN=180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }.$$

Углы при вершинах $B$ и $N$ равны, поэтому треугольник $BDN$ равнобедренный: $DB=DN$.

Высота $BH$ опущена на сторону $DN$. В прямоугольном треугольнике $BHD$ катет $BH$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$BH=\frac{BD}{2}\Rightarrow BD=2\cdot 6=12,DN=BD=12.$$

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:

$$S_{BDN}=\frac{1}{2}\cdot DN\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=36.$$

Ответ: б) $36$.