ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Задача из открытого банка ФИПИ с подробным решением. Реши на бумаге и сверься с разбором.

Как решать №18

3 балла на ЕГЭ 2 часть экзамена

№18 Трапеции средняя развёрнутое

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Трапеция ABCD и треугольник ACC₁

а) Пусть $A B C D$ — трапеция с основаниями $A D$ и $B C$ , а её диагонали $A C = 6$ и $B D = 8$ .

Отложим на продолжении основания $A D$ за точку $D$ отрезок $D C_{1} = B C$ . Отрезки $B C$ и $D C_{1}$ равны и параллельны (лежат на параллельных прямых $B C$ и $A D$ ), поэтому четырёхугольник $B C C_{1} D$ — параллелограмм. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны:

$C C_{1} = B D = 8, C C_{1} ∥ B D .$

Кроме того, $A C_{1} = A D + D C_{1} = A D + B C = 10$ .

Рассмотрим треугольник $A C C_{1}$ со сторонами $6$ , $8$ и $10$ . Так как

$A C^{2} + C C_{1}^{2} = 36 + 64 = 100 = A C_{1}^{2},$

по теореме, обратной теореме Пифагора, угол $A C C_{1}$ прямой, то есть $A C ⊥ C C_{1}$ . Прямая $B D$ параллельна $C C_{1}$ , значит, $A C ⊥ B D$ . Диагонали трапеции перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $h$ — высота трапеции. Вершина $C$ лежит на прямой $B C$ , параллельной $A D$ , поэтому высота треугольника $A C C_{1}$ , проведённая из $C$ к стороне $A C_{1}$ , тоже равна $h$ . Значит,

$S_{A C C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot A C_{1} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (A D + B C) \cdot h = S_{A B C D} .$

С другой стороны, треугольник $A C C_{1}$ прямоугольный, и его площадь равна половине произведения катетов:

$S_{A C C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24.$

Приравняем:

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 24 \Rightarrow h = \frac{48}{10} = 4, 8.$

Ответ: б) $4, 8$ .

Ещё задания №18

18-003P, сложная

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причем меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $B C$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M,$ отличной от точки $A .$ Лучи $A O$ и $A M$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $A Q$ большей окружности, не содержащей точку $P .$

а) Докажите, что прямые $P Q$ и $B C$ параллельны.

б) Известно, что $sin ∠ A O C = \frac{1}{4} 15,$ прямые $P C$ и $A Q$ пересекаются в точке $K .$ Найдите $Q K : K A .$

18-04FY, средняя

Дан равнобедренный треугольник $A B C .$ Окружность с центром $O$ на основании $B C$ касается боковых сторон $A B$ и $A C .$ Касательная к этой окружности пересекает стороны $A B$ и $A C$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $O M$ и $O N$ разбивают четырёхугольник $B M N C$ на три подобных треугольника.

б) Найдите длину отрезка $A M,$ если треугольник $A B C$ равносторонний, $A B = 20$ и $A N : N C = 2 : 3.$

18-079B, средняя

В тупоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $A B C$ . $B P$ и $C P$ — перпендикуляры к сторонам $A B$ и $A C$ соответственно, причём $C P$ пересекает сторону $A B$ . Высота $C H$ треугольника $A C P$ пересекает отрезок $A B$ в точке $K$ .

а) Докажите, что острые углы $A B C$ и $A C H$ равны.

б) Найдите длину стороны $A C$ , если $A K = 6$ , $B K = 18$ .

Как решать №18 Решать дальше №18