Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опущен перпендикуляр AH… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2024 развёрнутое

Дана трапеция $A B C D$ с боковой стороной $A B,$ которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $C D$ опущен перпендикуляр $A H .$ На стороне $A B$ взята точка $E$ так, что прямые $C E$ и $C D$ перпендикулярны.

a) Докажите, что прямые $B H$ и $E D$ параллельны.

б) Найдите отношение $B H$ к $E D,$ если $∠ B C D = 13 5^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Основания трапеции — $B C$ и $A D$ , боковая сторона $A B$ им перпендикулярна. Сначала поймём, какое основание меньше. Основание $H$ перпендикуляра из точки $A$ лежит на стороне $C D$ , значит, угол $A D C$ острый: если бы он был тупым, перпендикуляр упал бы на продолжение $C D$ за точку $D$ . В прямоугольной трапеции острый угол прилежит к большему основанию, поэтому $A D$ — большее основание, $B C$ — меньшее. Тогда прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $S$ , лежащей на продолжениях боковых сторон за точки $B$ и $C$ . Точки $B$ , $E$ , $A$ лежат на луче $S A$ , а точки $C$ , $H$ , $D$ — на луче $S D$ .

Обозначим $∠ A S D = α$ . Рассмотрим четыре прямоугольных треугольника, у каждого из которых острый угол при вершине $S$ равен $α$ :

$S B C$ с прямым углом $B$ (так как $A B ⊥ B C$ ), гипотенуза $S C$ ;
$S A D$ с прямым углом $A$ (так как $A B ⊥ A D$ ), гипотенуза $S D$ ;
$S C E$ с прямым углом $C$ (так как $C E ⊥ C D$ ), гипотенуза $S E$ ;
$S H A$ с прямым углом $H$ (так как $A H ⊥ C D$ ), гипотенуза $S A$ .

Все они подобны по двум углам. В каждом из них отношение катета, прилежащего к углу $S$ , к гипотенузе равно $cos α$ :

$\frac{S B}{S C} = \frac{S A}{S D} = \frac{S C}{S E} = \frac{S H}{S A} = cos α .$

Перемножим подходящие пары равенств:

$\frac{S B}{S E} = \frac{S B}{S C} \cdot \frac{S C}{S E} = cos^{2} α, \frac{S H}{S D} = \frac{S H}{S A} \cdot \frac{S A}{S D} = cos^{2} α .$

Значит, $\frac{S B}{S E} = \frac{S H}{S D}$ . У треугольников $S B H$ и $S E D$ угол $S$ общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия $△ S B H \sim △ S E D$ , поэтому $∠ S B H = ∠ S E D$ .

Это соответственные углы при прямых $B H$ и $E D$ и секущей $S A$ . Раз они равны, $B H ∥ E D$ . Что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $S B H$ и $S E D$

$\frac{B H}{E D} = \frac{S H}{S D} .$

Угол $B C S$ смежный с углом $B C D$ , так как точка $C$ лежит между $S$ и $D$ :

$∠ B C S = 18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .$

В прямоугольном треугольнике $S B C$ тогда $∠ B S C = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ . В прямоугольном треугольнике $S A D$ угол $S$ тот же, поэтому $∠ S D A = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ . Углы при гипотенузе $S D$ равны, значит, треугольник $S A D$ равнобедренный: $A S = A D$ .

В равнобедренном треугольнике высота $A H$ , проведённая к основанию $S D$ , является и медианой. Поэтому $S H = \frac{S D}{2}$ , и

$\frac{B H}{E D} = \frac{S H}{S D} = \frac{1}{2} .$

Это согласуется с пунктом а): отношение равно $cos^{2} α = cos^{2} 4 5^{\circ} = (\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}$ .

Ответ: б) $\frac{1}{2}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18