ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $AD=BC=2x$. Тогда $AM=MD=x$ и $CD=AB=3AD=6x$. Из условия $CN=2ND$ и $CN+ND=CD=6x$ получаем $ND=2x$, $CN=4x$.

Прямая $BN$ не параллельна $AD$: она пересекает прямую $BC$, а $BC\parallel AD$. Пусть $E$ — точка пересечения прямых $BN$ и $AD$. Прямая $BN$ пересекает прямую $CD$ в точке $N$, поэтому точки $B$ и $E$ лежат по разные стороны от $CD$. Значит, $E$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $D$.

Треугольники $EDN$ и $BCN$ подобны по двум углам: $\angle EDN=\angle BCN=90^{\circ }$ (углы прямоугольника и смежный с ним), $\angle DNE=\angle CNB$ как вертикальные. Из подобия

$$\frac{DE}{CB}=\frac{ND}{NC}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}\Rightarrow DE=\frac{2x}{2}=x.$$

Тогда $EM=ED+DM=x+x=2x$.

Рассмотрим треугольник $MDC$. Прямая $BE$ пересекает его сторону $DC$ во внутренней точке $N$ и не проходит через вершины, поэтому она пересекает ещё ровно одну его сторону. Отрезок $MD$ она не пересекает (прямую $MD$ она пересекает в точке $E$ вне отрезка), значит, она пересекает сторону $MC$ в некоторой точке $K^{\prime }$. Докажем, что $K^{\prime }$ — середина $CM$.

По теореме Менелая для треугольника $MDC$ и прямой, проходящей через точки $K^{\prime }\in MC$, $N\in CD$, $E\in MD$:

$$\frac{M{K}^{\prime }}{K^{\prime }C}\cdot \frac{CN}{ND}\cdot \frac{DE}{EM}=1\Rightarrow \frac{M{K}^{\prime }}{K^{\prime }C}\cdot \frac{4x}{2x}\cdot \frac{x}{2x}=1\Rightarrow \frac{M{K}^{\prime }}{K^{\prime }C}=1.$$

Итак, $M{K}^{\prime }=K^{\prime }C$, то есть $K^{\prime }$ — середина $CM$, и она совпадает с точкой $K$. Точка $K^{\prime }$ лежит на прямой $BN$ по построению, значит, точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

б) При $AD=4\sqrt{5}$ получаем $x=2\sqrt{5}$, и

$$CD=6x=12\sqrt{5},MD=x=2\sqrt{5},CN=4x=8\sqrt{5}.$$

В прямоугольном треугольнике $MDC$ по теореме Пифагора

$$C{M}^2=C{D}^2+M{D}^2=144\cdot 5+4\cdot 5=740,CM=\sqrt{740}=2\sqrt{185}.$$

Так как $K$ — середина $CM$, то $CK=\sqrt{185}$.

Косинус угла $DCM$ найдём из того же прямоугольного треугольника как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Учтём, что $185=5\cdot 37$:

$$\cos \angle DCM=\frac{CD}{CM}=\frac{12\sqrt{5}}{2\sqrt{5\cdot 37}}=\frac{6}{\sqrt{37}}.$$

Точка $N$ лежит на отрезке $CD$, а $K$ — на отрезке $CM$, поэтому $\angle NCK=\angle DCM$. По теореме косинусов для треугольника $NCK$

$$K{N}^2=C{N}^2+C{K}^2-2\cdot CN\cdot CK\cdot \cos \angle NCK=320+185-2\cdot 8\sqrt{5}\cdot \sqrt{185}\cdot \frac{6}{\sqrt{37}}.$$

Упростим последнее слагаемое: $\sqrt{5}\cdot \sqrt{185}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 37}=5\sqrt{37}$, поэтому

$$2\cdot 8\cdot 5\sqrt{37}\cdot \frac{6}{\sqrt{37}}=480,K{N}^2=505-480=25,KN=5.$$

Ответ: б) $5$.