ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $AB=c$, $CD=d$, $EF=m$. Так как $E$ и $F$ — середины оснований, $BE=EC=a$ и $AF=FD=b$, где $BC=2a$, $AD=2b$.

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Для четырёхугольника $ABEF$ (стороны $AB$, $BE$, $EF$, $FA$) это даёт

$$AB+EF=BE+FA,c+m=a+b.$$

Для четырёхугольника $ECDF$ (стороны $EC$, $CD$, $DF$, $FE$):

$$CD+FE=EC+DF,d+m=a+b.$$

Правые части равны, значит, $c+m=d+m$, то есть $c=d$ и $AB=CD$. Боковые стороны трапеции равны, поэтому трапеция $ABCD$ равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) По условию $BC=16$, поэтому $BE=EC=8$. Обозначим $AF=FD=b$ и $AB=CD=c$.

Опустим перпендикуляры $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB=DC$, $BH=CK$), поэтому $AH=KD$. Четырёхугольник $BCKH$ — прямоугольник, $HK=BC$. Значит,

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{2b-16}{2}=b-8.$$

Тогда $HF=AF-AH=b-(b-8)=8=BE$. Отрезки $HF$ и $BE$ лежат на параллельных основаниях и равны, поэтому $HBEF$ — параллелограмм (две противоположные стороны равны и параллельны). Отсюда $EF\parallel BH$, то есть $EF\perp AD$, и $EF=BH$ — высота трапеции.

Четырёхугольник $ABEF$ — трапеция с основаниями $BE$ и $AF$. Вписанная в неё окружность касается обеих параллельных прямых, поэтому расстояние между ними равно диаметру окружности:

$$BH=EF=2r=2\cdot 7=14.$$

Запишем условие вписанной окружности для $ABEF$ с найденными длинами:

$$AB+EF=BE+AF,c+14=8+b\Rightarrow b=c+6.$$

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ABH$ с катетами $BH=14$, $AH=b-8=c-2$ и гипотенузой $AB=c$:

$$c^2=14^2+(c-2{)}^2\iff c^2=196+c^2-4c+4\iff 4c=200\iff c=50.$$

Тогда $b=56$, $AD=2b=112$, $AH=b-8=48$.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, и она же описана около треугольника $ABD$. По теореме синусов для этого треугольника

$$R=\frac{BD}{2\sin \angle BAD}.$$

Синус угла $BAD$ найдём из прямоугольного треугольника $ABH$:

$$\sin \angle BAD=\frac{BH}{AB}=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}.$$

Диагональ $BD$ найдём из прямоугольного треугольника $BHD$. Его катеты $BH=14$ и $HD=AD-AH=112-48=64$, поэтому по теореме Пифагора

$$B{D}^2=14^2+64^2=196+4096=4292=4\cdot 1073,BD=2\sqrt{1073}.$$

Получаем

$$R=\frac{2\sqrt{1073}}{2\cdot \frac{7}{25}}=\frac{25\sqrt{1073}}{7}.$$

Ответ: б) $\frac{25\sqrt{1073}}{7}$.