Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С ₁ и В ₁ соответственно. а) Докажите, что… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная развёрнутое

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С $_{1}$ и В $_{1}$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ $_{1}$ С $_{1}$ .

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $45^{\circ}$ , В $_{1}$ С $_{1}$ = $6$ и площадь треугольника АВ $_{1}$ С $_{1}$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB $_{1}$ C $_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через B, C, B₁, C₁

а) Точки $B$ , $C$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ лежат на одной окружности, причём $B_{1}$ лежит на стороне $A C$ , а $C_{1}$ — на стороне $A B$ . Значит, четырёхугольник $B C B_{1} C_{1}$ вписанный. По свойству вписанного четырёхугольника сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ :

$∠ C_{1} B C + ∠ C B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} .$

Точка $B_{1}$ лежит между $A$ и $C$ , поэтому углы $A B_{1} C_{1}$ и $C B_{1} C_{1}$ смежные:

$∠ A B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ C B_{1} C_{1} = ∠ C_{1} B C = ∠ A B C .$

Последнее равенство верно, так как точка $C_{1}$ лежит на отрезке $A B$ и луч $B C_{1}$ совпадает с лучом $B A$ .

У треугольников $A B C$ и $A B_{1} C_{1}$ угол $A$ общий и $∠ A B C = ∠ A B_{1} C_{1}$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $B$ соответствует $B_{1}$ , а вершине $C$ — вершина $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

Из подобия следует

$\frac{A B _{1}}{A B} = \frac{A C _{1}}{A C} = \frac{B _{1} C _{1}}{B C} .$

б) Четырёхугольник $B C B_{1} C_{1}$ вместе с треугольником $A B_{1} C_{1}$ составляет треугольник $A B C$ . Обозначим $S = S_{A B_{1} C_{1}}$ , тогда $S_{B C B_{1} C_{1}} = 8 S$ и

$S_{A B C} = S + 8 S = 9 S .$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$(\frac{B C}{B _{1} C _{1}})^{2} = \frac{S _{A B C}}{S _{A B_{1} C_{1}}} = 9 \Rightarrow \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = 3 \Rightarrow B C = 3 \cdot 6 = 18.$

С тем же коэффициентом $A B = 3 A B_{1}$ и $A C = 3 A C_{1}$ .

Найдём радиус $R$ окружности. Она описана около треугольника $B B_{1} C_{1}$ , поэтому по теореме синусов

$B_{1} C_{1} = 2 R sin ∠ B_{1} B C_{1} .$

Угол $B_{1} B C_{1}$ — это угол $A B B_{1}$ , ведь луч $B C_{1}$ совпадает с лучом $B A$ . Найдём его синус из треугольника $A B B_{1}$ .

Пусть $A B_{1} = x$ , тогда $A B = 3 x$ . В треугольнике $A B B_{1}$ известны две стороны и угол $A = 4 5^{\circ}$ между ними. По теореме косинусов

$B B_{1}^{2} = A B^{2} + A B_{1}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A B_{1} \cdot cos 4 5^{\circ} = 9 x^{2} + x^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot x \cdot \frac{2}{2} = (10 - 32) x^{2},$

$B B_{1} = x 10 - 32 .$

По теореме синусов для того же треугольника $\frac{A B _{1}}{sin ∠ A B B _{1}} = \frac{B B _{1}}{sin ∠ A}$ , откуда

$sin ∠ A B B_{1} = \frac{A B _{1} \cdot sin 4 5 ^{\circ}}{B B _{1}} = \frac{x \cdot \frac{2}{2}}{x 10 - 3 2} = \frac{2}{2 10 - 3 2} .$

Неизвестное $x$ сократилось: угол $A B B_{1}$ определяется условием однозначно.

Теперь находим радиус:

$R = \frac{B _{1} C _{1}}{2 sin ∠ A B B _{1}} = \frac{6 \cdot 2 10 - 3 2}{2 2} = \frac{6 10 - 3 2}{2} = 32 \cdot 10 - 32 = 3 20 - 62 .$

Ответ: б) $B C = 18$ , $R = 3 20 - 62$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18