ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Сначала разберёмся, где лежат основания высот. В прямоугольном треугольнике $ABM$ (угол $M$ прямой) угол при вершине $A$ обязан быть острым. Угол $BAC=120^{\circ }$ тупой, поэтому точка $M$ не может лежать на луче $AC$: она лежит на продолжении стороны $CA$ за точку $A$. Тогда угол $BAM$ смежный с углом $BAC$:

$$\angle BAM=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Прямые, содержащие три высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Значит, через точку $H$ проходит и прямая, содержащая высоту из вершины $A$, то есть $AH\perp BC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AMH$ и $BMC$. В обоих угол при вершине $M$ прямой, потому что точка $H$ лежит на прямой $BM$, а $BM\perp AC$.

Сравним углы $AHM$ и $BCM$. Стороны этих углов соответственно перпендикулярны: $HA\perp CB$ и $HM\perp CM$. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме дают $180^{\circ }$. Угол $AHM$ острый как угол прямоугольного треугольника $AMH$. Угол $BCM$ совпадает с углом $ACB$ (луч $CM$ — это луч $CA$), а он острый, так как в треугольнике может быть только один тупой угол. Сумма двух острых углов меньше $180^{\circ }$, значит,

$$\angle AHM=\angle BCM.$$

Итак, прямоугольные треугольники $AMH$ и $BMC$ подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $B$, вершине $H$ — вершина $C$. Отсюда

$$\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{BM}.$$

Отношение $\frac{AM}{BM}$ найдём из прямоугольного треугольника $ABM$: это отношение прилежащего к углу $BAM$ катета к противолежащему, то есть котангенс этого угла:

$$\frac{AM}{BM}=\mathrm{ctg}\angle BAM=\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Значит, $AH=\frac{BC}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдём радиус $R$ описанной окружности по теореме синусов для треугольника $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{BC}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{BC}{\sqrt{3}}.$$

Точка $A$ лежит на окружности с центром $O$, поэтому $AO=R=\frac{BC}{\sqrt{3}}=AH$. Что и требовалось доказать.

б) По пункту а)

$$AH=AO=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $AHO$ найдём по формуле $S=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot AO\cdot \sin \angle HAO$, поэтому нужен угол $HAO$.

Найдём третий угол треугольника: $\angle C=180^{\circ }-120^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$. Пусть $AD$ — высота треугольника $ABC$. Углы $B$ и $C$ острые, поэтому точка $D$ лежит на отрезке $BC$, а прямая $AH$ — это прямая $AD$.

Выясним, как расположены на этой прямой точки $D$, $A$ и $H$. В прямоугольном треугольнике $BMC$ угол $MCB$ равен $\angle C=45^{\circ }$, поэтому $\angle MBC=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Перпендикуляр к $BC$, восставленный в точке $D$, пересекает луч $BM$ в точке $H$, и треугольник $BDH$ прямоугольный с углом $45^{\circ }$ при вершине $B$, то есть равнобедренный: $HD=BD$. С другой стороны, из прямоугольного треугольника $ABD$

$$AD=BD\cdot \mathrm{tg}\angle ABD=BD\cdot \mathrm{tg}15^{\circ }<BD=HD.$$

Точки $A$ и $H$ лежат по одну сторону от $BC$ на одном перпендикуляре к ней, и $AD<HD$. Значит, точка $A$ лежит между $D$ и $H$, и лучи $AH$ и $AD$ противоположны.

Найдём угол $DAO$. Из прямоугольного треугольника $ABD$: $\angle BAD=90^{\circ }-\angle ABD=90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$.

Центральный угол $AOB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и вписанный угол $ACB$, поэтому он вдвое больше: $\angle AOB=2\cdot 45^{\circ }=90^{\circ }$. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$), значит,

$$\angle BAO=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=45^{\circ }.$$

Аналогично $\angle AOC=2\angle ABC=30^{\circ }$ и $\angle CAO=\frac{180^{\circ }-30^{\circ }}{2}=75^{\circ }$. Так как $\angle BAO+\angle CAO=45^{\circ }+75^{\circ }=120^{\circ }=\angle BAC$, луч $AO$ проходит внутри угла $BAC$. Внутри этого же угла проходит и луч $AD$, причём $\angle BAO=45^{\circ }<\angle BAD=75^{\circ }$. Поэтому луч $AO$ лежит между лучами $AB$ и $AD$, и

$$\angle DAO=\angle BAD-\angle BAO=75^{\circ }-45^{\circ }=30^{\circ }.$$

Углы $HAO$ и $DAO$ смежные, так как лучи $AH$ и $AD$ противоположны:

$$\angle HAO=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }.$$

Осталось вычислить площадь:

$$S_{AHO}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot AO\cdot \sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{3}{4}$.