ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги (те, что не содержат других вершин пятиугольника). Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, поэтому $\angle ACB=\angle CAD$. Это накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$, значит, $BC\parallel AD$.

Точно так же равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, поэтому $\angle BEC=\angle DCE$. Это накрест лежащие углы при прямых $CD$, $BE$ и секущей $CE$, значит, $CD\parallel BE$.

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE$ (в выпуклом пятиугольнике она лежит внутри обоих отрезков). В четырёхугольнике $BCDM$ стороны $BC\parallel MD$ и $CD\parallel BM$, поэтому $BCDM$ — параллелограмм, и

$$MD=BC=6,BM=CD=4.$$

Четырёхугольник $ABCD$: $BC\parallel AD$, причём $AD=AM+MD=AM+BC>BC$, так что это трапеция. Она вписана в окружность, значит, равнобедренная, а диагонали равнобедренной трапеции равны: $AC=BD$.

Четырёхугольник $BCDE$: $CD\parallel BE$, причём $BE=BM+ME=CD+ME>CD$, так что это тоже вписанная, то есть равнобедренная, трапеция. Её диагонали равны: $BD=CE$.

Итак, $AC=BD=CE$. Что и требовалось доказать.

Заметим, что пункт а) можно доказать и короче: дуга $ABC$ составлена из дуг $AB$ и $BC$, дуга $CDE$ — из равных им дуг $CD$ и $DE$, поэтому дуги $ABC$ и $CDE$ равны и стягивающие их хорды $AC$ и $CE$ тоже равны. Но параллелограмм $BCDM$ понадобится нам в пункте б).

б) Из параллелограмма $MD=6$, поэтому

$$AM=AD-MD=7-6=1.$$

Хорды $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$, и по свойству пересекающихся хорд произведения их отрезков равны:

$$AM\cdot MD=BM\cdot ME\Rightarrow 1\cdot 6=4\cdot ME\Rightarrow ME=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$BE=BM+ME=4+\frac{3}{2}=5,5.$$

Ответ: б) $5,5$.