ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон, поэтому лежит на биссектрисе угла: $NO$ — биссектриса угла $ANB$, и $\angle ANB=2\angle ANO$.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: $\angle OAN=\angle OBN=90^{\circ }$. В четырёхугольнике $ANBO$ сумма противоположных углов $A$ и $B$ равна $180^{\circ }$, значит, около него можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы $ANO$ и $ABO$ опираются на одну и ту же дугу $AO$, поэтому они равны:

$$\angle ANO=\angle ABO.$$

Центр $O$ лежит на диаметре $BC$, значит, $\angle ABO=\angle ABC$. Получаем

$$\angle ANB=2\angle ANO=2\angle ABO=2\angle ABC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому $\angle BAC=90^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$\mathrm{tg}\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}.$$

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $NA=NB$. Значит, треугольник $ANB$ равнобедренный, и его биссектриса $NO$ является также высотой и медианой. Пусть $H$ — точка пересечения $NO$ и $AB$. Тогда $NH\perp AB$, то есть $NH$ — искомое расстояние, и

$$AH=\frac{AB}{2}=26.$$

По пункту а) $\angle ANH=\frac{1}{2}\angle ANB=\angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $ANH$ ($\angle AHN=90^{\circ }$):

$$\mathrm{tg}\angle ANH=\frac{AH}{NH}\Rightarrow NH=\frac{AH}{\mathrm{tg}\angle ABC}=26\cdot \frac{13}{3}=\frac{338}{3}.$$

Проверим другим способом. Точки $O$ и $H$ — середины сторон $BC$ и $BA$, поэтому $OH$ — средняя линия треугольника $ABC$ и $OH=\frac{AC}{2}=6$. В прямоугольном треугольнике $NAO$ высота $AH$ — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы: $A{H}^2=NH\cdot HO$, откуда $NH=\frac{676}{6}=\frac{338}{3}$.

Ответ: б) $\frac{338}{3}$.