ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр прямоугольника (точка пересечения диагоналей), $K$ — точка пересечения $BM$ и $AC$.

а) По условию $MB=MD$, поэтому треугольник $BMD$ равнобедренный и $\angle MBD=\angle MDB$. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, $BD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle MDB=\angle ADB=\angle DBC$. Итак,

$$\angle MBD=\angle DBC.$$

По условию $BK\perp AC$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$) $\angle ABM=90^{\circ }-\angle BAC$, а в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle ABC=90^{\circ }$) $\angle ACB=90^{\circ }-\angle BAC$. Значит,

$$\angle ABM=\angle ACB.$$

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OB=OC$, треугольник $BOC$ равнобедренный и $\angle ACB=\angle OCB=\angle OBC=\angle DBC$.

Получаем $\angle ABM=\angle MBD=\angle DBC$. Точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому луч $BM$ проходит внутри угла $ABD$, и эти три угла вместе составляют прямой угол $ABC$:

$$3\angle DBC=90^{\circ }\Rightarrow \angle ABM=\angle MBD=\angle DBC=30^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $\angle ACB=\angle ABM=30^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$AB=BC\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=9\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ ($\angle BAM=90^{\circ }$):

$$AM=AB\cdot \mathrm{tg}\angle ABM=3\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3.$$

Тогда $MD=AD-AM=9-3=6$ (для проверки: $MB=\frac{AB}{\cos 30^{\circ }}=6=MD$). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $MDC$ с катетами $MD=6$ и $DC=AB=3\sqrt{3}$:

$$CM=\sqrt{M{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{36+27}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}.$$

Опустим перпендикуляры $A{H}_1$ и $OH$ на прямую $CM$. Они параллельны, поэтому прямоугольные треугольники $CA{H}_1$ и $COH$ с общим углом $C$ подобны, а коэффициент подобия равен $\frac{CO}{CA}=\frac{1}{2}$, так как $O$ — середина $AC$. Значит, $OH=\frac{1}{2}A{H}_1$.

Найдём $A{H}_1$, записав площадь треугольника $ACM$ двумя способами. Если взять основание $AM$ на прямой $AD$, высотой будет $CD$:

$$S_{ACM}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot A{H}_1\Rightarrow A{H}_1=\frac{AM\cdot CD}{CM}=\frac{3\cdot 3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}.$$

Тогда искомое расстояние

$$OH=\frac{1}{2}A{H}_1=\frac{3\sqrt{21}}{14}.$$

Ответ: б) $\frac{3\sqrt{21}}{14}$.