На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁:C₁B=21:10… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы средняя развёрнутое

На сторонах $A B$ , $B C$ и $A C$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно, причём $A C_{1} : C_{1} B = 21 : 10$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 3$ , $A B_{1} : B_{1} C = 2 : 5$ . Отрезки $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $D$ .

а) Докажите, что четырёхугольник $A D A_{1} B_{1}$ — параллелограмм.

б) Найдите $C D$ , если отрезки $A D$ и $B C$ перпендикулярны, $A C = 63$ , $B C = 25$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Параллелограмм ADA₁B₁

а) Найдём, в каком отношении точка $D$ делит отрезок $B B_{1}$ . Прямая $C C_{1}$ пересекает стороны $A B$ и $B B_{1}$ треугольника $A B B_{1}$ в точках $C_{1}$ и $D$ , а продолжение стороны $A B_{1}$ за точку $B_{1}$ — в точке $C$ . Из условия $A B_{1} : B_{1} C = 2 : 5$ получаем $\frac{B _{1} C}{C A} = \frac{5}{7}$ . По теореме Менелая для треугольника $A B B_{1}$ и прямой $C_{1} C$ :

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{B _{1} C}{C A} = 1 \Rightarrow \frac{21}{10} \cdot \frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{5}{7} = 1 \Rightarrow \frac{B D}{D B _{1}} = \frac{70}{105} = \frac{2}{3} .$

Теперь рассмотрим треугольник $B B_{1} C$ . В нём точка $D$ делит сторону $B B_{1}$ , а точка $A_{1}$ — сторону $B C$ в одном и том же отношении $2 : 3$ , считая от $B$ . Значит,

$\frac{B D}{B B _{1}} = \frac{B A _{1}}{B C} = \frac{2}{5},$

и треугольники $B D A_{1}$ и $B B_{1} C$ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу $B$ . Из подобия $∠ B D A_{1} = ∠ B B_{1} C$ , а это соответственные углы при прямых $D A_{1}$ , $B_{1} C$ и секущей $B B_{1}$ , поэтому $D A_{1} ∥ B_{1} C$ . Кроме того,

$D A_{1} = \frac{2}{5} B_{1} C = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7} A C = \frac{2}{7} A C .$

С другой стороны, $A B_{1} = \frac{2}{7} A C$ , то есть $D A_{1} = A B_{1}$ .

Отрезки $D A_{1}$ и $A B_{1}$ параллельны (оба параллельны прямой $A C$ ), равны и направлены одинаково — в сторону точки $C$ : вектор $D A_{1}$ сонаправлен $B_{1} C$ . Значит, $D A_{1} = A B_{1}$ , и в четырёхугольнике $A D A_{1} B_{1}$ противоположные стороны $D A_{1}$ и $A B_{1}$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма $A D A_{1} B_{1}$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

б) Найдём отрезки на сторонах:

$B A_{1} = \frac{2}{5} \cdot 25 = 10, A_{1} C = 15, A B_{1} = \frac{2}{7} \cdot 63 = 18, B_{1} C = 45.$

Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $A_{1} B_{1} ∥ A D$ . По условию $A D ⊥ B C$ , поэтому и $A_{1} B_{1} ⊥ B C$ , то есть треугольник $B_{1} A_{1} C$ прямоугольный с прямым углом $A_{1}$ . По определению косинуса

$cos ∠ A C B = \frac{A _{1} C}{B _{1} C} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} .$

Рассмотрим треугольник $D A_{1} C$ . В нём $D A_{1} = A B_{1} = 18$ , $A_{1} C = 15$ . Прямые $D A_{1}$ и $C B_{1}$ параллельны, $A_{1} C$ — секущая, а точки $D$ и $B_{1}$ лежат по одну сторону от прямой $B C$ . Значит, углы $D A_{1} C$ и $A_{1} C B_{1}$ односторонние и в сумме дают $18 0^{\circ}$ :

$cos ∠ D A_{1} C = cos (18 0^{\circ} - ∠ A C B) = - cos ∠ A C B = - \frac{1}{3} .$

По теореме косинусов в треугольнике $D A_{1} C$ :

$C D^{2} = D A_{1}^{2} + A_{1} C^{2} - 2 \cdot D A_{1} \cdot A_{1} C \cdot cos ∠ D A_{1} C = 1 8^{2} + 1 5^{2} + 2 \cdot 18 \cdot 15 \cdot \frac{1}{3} = 324 + 225 + 180 = 729.$

Значит, $C D = 27$ .

Ответ: б) $27$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18