Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠AHB₁=∠ACB. б)… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2024 развёрнутое

Дан остроугольный треугольник $A B C$ . В нём высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $H$ .

а) Докажите, что $∠ A H B_{1} = ∠ A C B$ .

б) Найдите $B C$ , если $A H = 83$ и $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Высоты треугольника ABC и ортоцентр H

а) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому прямая $A H$ содержит третью высоту; пусть она пересекает $B C$ в точке $A_{1}$ , так что $A A_{1} ⊥ B C$ . Треугольник остроугольный, поэтому точка $H$ лежит внутри него, $A_{1}$ — на стороне $B C$ , $B_{1}$ — на стороне $A C$ . Обозначим $∠ A_{1} A C = α$ .

Рисунок к решению

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B_{1} H$ ( $∠ A B_{1} H = 9 0^{\circ}$ ). Точка $H$ лежит на отрезке $A A_{1}$ , а $B_{1}$ — на $A C$ , поэтому $∠ H A B_{1} = ∠ A_{1} A C = α$ . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $9 0^{\circ}$ , значит,

$∠ A H B_{1} = 9 0^{\circ} - α .$

В прямоугольном треугольнике $A A_{1} C$ ( $∠ A A_{1} C = 9 0^{\circ}$ ) по той же причине

$∠ A C A_{1} = 9 0^{\circ} - α .$

Так как $A_{1}$ лежит на стороне $B C$ , то $∠ A C A_{1} = ∠ A C B$ . Получаем $∠ A H B_{1} = ∠ A C B$ . Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим прямоугольные треугольники $A B_{1} H$ и $B B_{1} C$ . У них $∠ A B_{1} H = ∠ B B_{1} C = 9 0^{\circ}$ , а по пункту а) $∠ A H B_{1} = ∠ A C B = ∠ B C B_{1}$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $B$ , вершине $H$ — вершина $C$ . Из подобия

$\frac{A H}{B C} = \frac{A B _{1}}{B B _{1}} .$

В прямоугольном треугольнике $A B B_{1}$ отношение прилежащего к углу $A$ катета к противолежащему — это котангенс угла $A$ :

$\frac{A B _{1}}{B B _{1}} = ctg ∠ B A C = ctg 6 0^{\circ} = \frac{1}{3} .$

Тогда

$B C = A H \cdot 3 = 83 \cdot 3 = 24.$

Покажем и другой способ. Точки $B_{1}$ и $C_{1}$ видят отрезок $A H$ под прямым углом ( $∠ A B_{1} H = ∠ A C_{1} H = 9 0^{\circ}$ ), поэтому лежат на окружности с диаметром $A H$ . Эта окружность описана около треугольника $A B_{1} C_{1}$ , и по теореме синусов

$\frac{B _{1} C _{1}}{sin ∠ B _{1} A C _{1}} = A H \Rightarrow B_{1} C_{1} = A H sin 6 0^{\circ} .$

С другой стороны, из прямоугольных треугольников $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ имеем $A B_{1} = A B cos A$ , $A C_{1} = A C cos A$ . Значит, треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу $A$ между ними с коэффициентом $cos A$ , и $B_{1} C_{1} = B C cos 6 0^{\circ}$ .

Рисунок к решению

Приравняем два выражения для $B_{1} C_{1}$ :

$B C = \frac{A H sin 6 0 ^{\circ}}{cos 6 0 ^{\circ}} = A H tg 6 0^{\circ} = 83 \cdot 3 = 24.$

Ответ: б) $24$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18