Пятиугольник вписан в окружность. При этом — точка пересечения его диагоналей и Известно, что — параллелограмм.
а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
б) Найдите , если известно, что
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Пятиугольник вписан в окружность, поэтому он выпуклый, и его диагонали и пересекаются внутри него: точка лежит внутри отрезков и .
а) Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны:
Точка лежит на отрезке , поэтому . При этом
так что четырёхугольник — трапеция с основаниями и (не параллелограмм, ведь основания не равны).
Трапеция вписана в окружность, а вписанная трапеция равнобедренная: параллельные хорды и отсекают равные дуги и , а равные дуги стягиваются равными хордами. Значит, — две стороны пятиугольника равны. Что и требовалось доказать.
б) Аналогично, точка лежит на отрезке , поэтому , причём
Значит, — вписанная трапеция с основаниями и , она равнобедренная и .
Из параллелограмма , поэтому
Обозначим , тогда . Хорды и пересекаются в точке , и по свойству пересекающихся хорд произведения их отрезков равны:
Получаем или .
Проверим . Тогда , а в треугольнике стороны и (по пункту а). Получается , что нарушает неравенство треугольника. Значит, не подходит.
При стороны треугольника равны , и , противоречия нет.
Ответ: б) .