ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр окружности, то есть середина диаметра $AB$.

а) Угол $ADB$ вписанный и опирается на диаметр $AB$, поэтому $\angle ADB=90^{\circ }$.

Рассмотрим четырёхугольник $ADBE$. Его диагонали $AB$ и $DE$ — диаметры окружности: они равны и точкой $O$ делятся пополам. Четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам, — параллелограмм, а параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Значит, $ADBE$ — прямоугольник, и

$$AD=BE,AD\parallel BE.$$

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому $BC\perp AB$ и треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$. Так как $\angle ADB=90^{\circ }$, отрезок $BD$ — высота этого треугольника, проведённая к гипотенузе $AC$, и точка $D$ лежит на отрезке $AC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ADB$ и $BDC$ (углы при вершине $D$ прямые). Так как $\angle ABD+\angle DBC=90^{\circ }$, то

$$\angle DAB=90^{\circ }-\angle ABD=\angle DBC.$$

Значит, треугольники $ADB$ и $BDC$ подобны по двум углам. Из подобия

$$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}\Rightarrow B{D}^2=AD\cdot CD=CD\cdot BE.$$

Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.$$

Треугольники $ABC$ и $ADB$ подобны по двум углам: угол $A$ общий, $\angle ABC=\angle ADB=90^{\circ }$. Из подобия

$$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow BD=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{10\cdot 5}{5\sqrt{5}}=2\sqrt{5},$$

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AD=\frac{A{B}^2}{AC}=\frac{100}{5\sqrt{5}}=4\sqrt{5}.$$

Тогда

$$CD=AC-AD=5\sqrt{5}-4\sqrt{5}=\sqrt{5},BE=AD=4\sqrt{5}.$$

Проверка пункта а): $B{D}^2=20$ и $CD\cdot BE=\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}=20$.

Найдём положение точки $F$. Прямая $CD$ — это прямая $AC$, а $AC\parallel BE$ (стороны прямоугольника $ADBE$). Прямые $FB$ и $FE$ пересекаются параллельными прямыми $CD$ и $BE$, поэтому треугольники $FCD$ и $FBE$ подобны (углы при $C$ и $B$, а также при $D$ и $E$ равны как углы при параллельных прямых). Отсюда

$$\frac{FC}{FB}=\frac{CD}{BE}=\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{4}.$$

Точка $F$ лежит на касательной $BC$, то есть вне круга, а отрезок $DE$ (диаметр) — внутри круга. Поэтому $F$ лежит не между $D$ и $E$, а на продолжении отрезка $DE$, точки $D$ и $E$ находятся по одну сторону от $F$. Тогда и точки $C$ и $B$ лежат по одну сторону от $F$, а так как $FC<FB$, точка $C$ лежит между $F$ и $B$. Значит, $FB=FC+CB$:

$$\frac{FC}{FC+5}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4FC=FC+5\Rightarrow FC=\frac{5}{3},FB=\frac{5}{3}+5=\frac{20}{3}.$$

Найдём синус угла $FBE$. Луч $BF$ совпадает с лучом $BC$, поэтому $\angle FBE=\angle CBE$. Прямые $BE$ и $CA$ параллельны, $BC$ — секущая, а точки $E$ и $A$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ (вся окружность лежит по одну сторону от касательной). Значит, углы $CBE$ и $BCA$ односторонние и $\angle CBE=180^{\circ }-\angle BCA$. Тогда

$$\sin \angle FBE=\sin \angle BCA=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{5\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

$$S_{FBE}=\frac{1}{2}\cdot FB\cdot BE\cdot \sin \angle FBE=\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{3}\cdot 4\sqrt{5}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{3}\cdot 8=\frac{80}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{80}{3}$.