ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Введём обозначения. Основания трапеции не равны, поэтому прямые $AB$ и $CD$ пересекаются; пусть $S$ — точка их пересечения. Так как $BC<AD$, точка $S$ лежит за точками $B$ и $C$, а трапеция — часть треугольника $ASD$. Окружность касается отрезков $AB$ и $CD$ (частей сторон $SA$ и $SD$) и стороны $AD$, то есть всех трёх сторон треугольника $ASD$. Значит, это вписанная окружность треугольника $ASD$, и она лежит внутри угла $ASD$. Пусть $r$ — её радиус.

а) Пусть окружность не имеет общих точек с отрезком $BC$. Прямая $BC$ пересекает угол $ASD$ ровно по отрезку $BC$, а окружность лежит внутри этого угла, поэтому и с прямой $BC$ у неё общих точек нет. Значит, вся окружность лежит по одну сторону от прямой $BC$ — ту же, где точка касания со стороной $AD$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$. Поэтому диаметр $2r$ окружности меньше высоты трапеции.

Проведём к окружности вторую касательную, параллельную $AD$. Она находится на расстоянии $2r$ от $AD$, то есть строго между прямыми $AD$ и $BC$, и пересекает боковые стороны в точках $B_1$ и $C_1$, причём $B_1$ лежит внутри отрезка $AB$, а $C_1$ — внутри отрезка $DC$.

Четырёхугольник $A{B}_1{C}_{1}D$ — трапеция, все четыре стороны которой касаются окружности. Углы при её основании $AD$ равны, поэтому она равнобедренная. Обозначим $A{B}_1=C_{1}D=a_1$, $B_1{C}_1=b_1$. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$$AD+B_1{C}_1=A{B}_1+C_{1}D\Rightarrow c+b_1=2a_1.$$

Сравним эту трапецию с исходной. Точка $B_1$ лежит внутри отрезка $AB$, поэтому $a_1=A{B}_1<AB=a$.

В равнобедренной трапеции углы при большем основании острые, так что $\cos A>0$. Проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований, поэтому

$$BC=AD-2AB\cos A,B_1{C}_1=AD-2A{B}_1\cos A.$$

Так как $A{B}_1<AB$ и $\cos A>0$, получаем $b_1=B_1{C}_1>BC=b$.

Итак,

$$b+c<b_1+c=2a_1<2a.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$, так что $MN$ — средняя линия трапеции, а $E$, $F$, $H$ — точки касания окружности со сторонами $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{b+c}{2}=\frac{6+12}{2}=9.$$

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $AE=AH$, $DF=DH$, $SE=SF$. Треугольник $ASD$ равнобедренный ($\angle SAD=\angle SDA$), поэтому $SA=SD$ и

$$AE=SA-SE=SD-SF=DF.$$

Значит, $AH=DH=\frac{AD}{2}=6$, и $AE=DF=6$.

Середина боковой стороны: $AM=\frac{AB}{2}=5<AE$. Поэтому точка $E$ лежит на отрезке $MB$ и

$$ME=AE-AM=6-5=1,NF=DF-DN=6-5=1.$$

Убедимся, что средняя линия пересекает окружность. Точка окружности $E$ лежит на отрезке $MB$, то есть по ту же сторону от прямой $MN$, что и основание $BC$, а точка окружности $H$ лежит на $AD$ — по другую сторону. Значит, прямая $MN$ пересекает окружность в двух точках; обозначим их $K$ и $L$, где $K$ ближе к $M$. Окружность лежит внутри угла $ASD$, а прямая $MN$ пересекает этот угол по отрезку $MN$, поэтому $K$ и $L$ лежат на отрезке $MN$. Искомая длина — это $KL$.

Трапеция симметрична относительно прямой, проходящей через середины оснований. При этой симметрии точка $M$ переходит в $N$, а окружность — в себя (её центр лежит на биссектрисе угла $S$, то есть на оси симметрии). Значит, $K$ переходит в $L$, и $MK=NL$.

Точка $M$ лежит вне окружности, $ME$ — отрезок касательной, $MKL$ — секущая. По теореме о касательной и секущей

$$M{E}^2=MK\cdot ML.$$

Обозначим $MK=NL=x$, тогда $ML=MN-NL=9-x$:

$$x(9-x)=1\iff x^2-9x+1=0\iff x=\frac{9\pm \sqrt{77}}{2}.$$

Точка $K$ ближе к $M$, чем $L$, поэтому $MK<ML$, то есть $x<9-x$ и $x<\frac{9}{2}$. Подходит только $x=\frac{9-\sqrt{77}}{2}$.

Тогда

$$KL=MN-MK-NL=9-2x=9-\left(9-\sqrt{77}\right)=\sqrt{77}.$$

Ответ: б) $\sqrt{77}$.