ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Боковые стороны треугольника — $AB$ и $BC$, поэтому $AC$ — основание и углы при нём равны. Обозначим $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Треугольник остроугольный, значит, $\angle ABC=180^{\circ }-2\alpha <90^{\circ }$, откуда $\alpha >45^{\circ }$. Кроме того, в остроугольном треугольнике основание высоты лежит на стороне, поэтому точка $H$ лежит на отрезке $AB$.

Окружность касается отрезка $BH$ (он часть стороны $AB$), стороны $BC$ и высоты $CH$, то есть всех трёх сторон треугольника $BHC$. Значит, это вписанная окружность треугольника $BHC$, а её центр $O$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. В частности, $CO$ — биссектриса угла $BCH$.

Найдём углы при вершине $C$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($\angle AHC=90^{\circ }$) сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle ACH=90^{\circ }-\angle CAH=90^{\circ }-\alpha .$$

Луч $CH$ лежит внутри угла $ACB$, поэтому

$$\angle BCH=\angle BCA-\angle ACH=\alpha -(90^{\circ }-\alpha )=2\alpha -90^{\circ }.$$

Биссектриса $CO$ делит этот угол пополам:

$$\angle HCO=\frac{2\alpha -90^{\circ }}{2}=\alpha -45^{\circ }.$$

Луч $CO$ лежит внутри угла $HCB$, значит, луч $CH$ проходит между лучами $CA$ и $CO$, и углы складываются:

$$\angle OCA=\angle ACH+\angle HCO=(90^{\circ }-\alpha )+(\alpha -45^{\circ })=45^{\circ }.$$

Теперь перейдём к вершине $A$. Окружность касается обеих сторон угла $ABC$, поэтому её центр равноудалён от сторон этого угла и лежит на его биссектрисе. В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому $OA=OC$.

Треугольник $AOC$ равнобедренный, углы при его основании $AC$ равны:

$$\angle OAC=\angle OCA=45^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $D$ — середина основания $AC$. Как мы выяснили в пункте а), отрезок $BD$ — биссектриса, медиана и высота треугольника $ABC$, поэтому $BD\perp AC$ и центр $O$ лежит на прямой $BD$. Точка $O$ находится внутри треугольника $BHC$, а значит, и внутри треугольника $ABC$, поэтому она лежит на отрезке $BD$ между точками $B$ и $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$ ($\angle ADO=90^{\circ }$). По пункту а) $\angle OAD=45^{\circ }$, тогда и $\angle AOD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Треугольник $AOD$ равнобедренный, поэтому

$$OD=AD=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Тогда

$$BD=BO+OD=1+3=4.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BDC$ с катетами $BD=4$ и $DC=3$:

$$BC=\sqrt{B{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$

Проверим, что треугольник со сторонами $AB=BC=5$, $AC=6$ действительно остроугольный. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые, а угол $B$ острый, так как $A{C}^2=36<A{B}^2+B{C}^2=50$. Значит, условие выполнено.

Ответ: б) $5$.