ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Окружности касаются внутренним образом в точке $C$, поэтому у них есть общая касательная в этой точке, и обе окружности лежат по одну сторону от неё. Любая прямая, проходящая через $C$, вторично пересекает каждую окружность с той же стороны от касательной. Значит, точка $D$ лежит на луче $CB$, а точка $E$ — на луче $CA$.

Проведём общую касательную и отметим на ней точку $K$ так, чтобы $K$ и $B$ лежали по одну сторону от прямой $AC$.

По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной $CK$ и хордой $CB$ большей окружности равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны: $\angle BCK=\angle BEC$.

Прямая $CK$ касается и меньшей окружности, а $CD$ — её хорда. По той же теореме $\angle DCK=\angle DAC$.

Точка $D$ лежит на луче $CB$, поэтому $\angle DCK=\angle BCK$. Получаем

$$\angle DAC=\angle DCK=\angle BCK=\angle BEC.$$

Углы $DAC$ и $BEC$ — соответственные углы при прямых $AD$ и $BE$ и секущей $CE$: точки $A$ и $E$ лежат на одном луче $CA$, а точки $D$ и $B$ — по одну сторону от этой секущей. Соответственные углы равны, поэтому $AD\parallel BE$. Что и требовалось доказать.

б) Точка $D$ лежит на прямой $BC$, а $AC\perp BC$, поэтому вписанный в меньшую окружность угол $ACD$ прямой. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, значит, $AD$ — диаметр меньшей окружности. Точно так же $\angle BCE=90^{\circ }$, и $BE$ — диаметр большей окружности:

$$AD=2\cdot 4,5=9,BE=2\cdot 6=12.$$

Прямоугольные треугольники $DCA$ и $BCE$ подобны по острому углу: $\angle DAC=\angle BEC$ (пункт а). Вершине $A$ соответствует $E$, вершине $D$ — $B$, поэтому

$$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CE}=\frac{AD}{BE}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.$$

Треугольник $ABC$ равнобедренный, пусть $AC=BC=x$. Тогда $CD=\frac{3}{4}CB=\frac{3x}{4}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCA$

$$A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2\Rightarrow 81=x^2+\frac{9x^2}{16}=\frac{25x^2}{16}.$$

Отсюда

$$x^2=\frac{81\cdot 16}{25},x=\frac{9\cdot 4}{5}=\frac{36}{5}=7,2.$$

Ответ: б) $7,2$.