ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }$, поэтому

$$\angle LMN=360^{\circ }-\angle MNK-\angle NKL-\angle KLM=360^{\circ }-90^{\circ }-120^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }.$$

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Поэтому $LO$ и $MO$ — биссектрисы углов $KLM$ и $LMN$:

$$\angle OLM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ },\angle OML=\angle OMN=\frac{30^{\circ }}{2}=15^{\circ }.$$

В треугольнике $LOM$ по теореме о сумме углов

$$\angle LOM=180^{\circ }-60^{\circ }-15^{\circ }=105^{\circ }.$$

Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $MN$. В прямоугольном треугольнике $OAM$ угол $OMA=15^{\circ }$, поэтому

$$\angle MOA=90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }.$$

Луч $MO$ — биссектриса угла $LMN$, поэтому точки $L$ и $A$, лежащие на разных сторонах этого угла, находятся по разные стороны от прямой $MO$. Углы $LOM$ и $MOA$ прилегают к лучу $OM$ с разных сторон, и их сумма

$$\angle LOM+\angle MOA=105^{\circ }+75^{\circ }=180^{\circ }.$$

Значит, лучи $OL$ и $OA$ образуют развёрнутый угол, то есть точки $L$, $O$, $A$ лежат на одной прямой. Точка $A$ лежит на прямой $LO$. Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) прямая $LA$ проходит через $O$, а $OA\perp MN$, поэтому $LA\perp MN$. В прямоугольном треугольнике $LAM$ угол $LMA$ равен $30^{\circ }$, и по определению тангенса

$$\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{LA}{MA}\Rightarrow MA=\frac{LA}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}.$$

Найдём радиус $r$ вписанной окружности. Центр $O$ лежит между $L$ и $A$, поэтому $LA=LO+OA$, где $OA=r$. Пусть $T$ — точка касания окружности со стороной $LM$. Тогда $OT\perp LM$, $OT=r$, и в прямоугольном треугольнике $LTO$ с углом $OLT=60^{\circ }$

$$LO=\frac{OT}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$

Составим уравнение:

$$r+\frac{2r}{\sqrt{3}}=1\Rightarrow r\cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}=1\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{3}-3.$$

Теперь найдём $AN$. Пусть $S$ — точка касания окружности со стороной $NK$. В четырёхугольнике $OANS$ углы при вершинах $A$, $N$, $S$ прямые, поэтому он прямоугольник, а его соседние стороны $OA$ и $OS$ равны как радиусы. Значит, $OANS$ — квадрат, и $AN=OS=r$.

Точка касания $A$ лежит на стороне $MN$, поэтому

$$MN=MA+AN=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3=3\sqrt{3}-3.$$

Ответ: б) $3\sqrt{3}-3$.